Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=-

3

4

x+b（b為常數(shù)，b＞0）的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，半徑為4的⊙O與x軸正半軸相交于點C，與y軸相交于點D、E，點D在點E上方．

（1）若直線AB與

CD

有兩個交點F、G．
①求∠CFE的度數(shù)；
②用含b的代數(shù)式表示FG²，并直接寫出b的取值范圍；
（2）設(shè)b≥5，在線段AB上是否存在點P，使∠CPE=45°？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）連接CD，EA，利用同一條弦所對的圓周角相等求行∠CFE=45°，
（2）作OM⊥AB點M，連接OF，利用兩條直線垂直相交求出交點M的坐標，利用勾股定理求出FM²，再求出FG²，再根據(jù)式子寫出b的范圍，
（3）當b=5時，直線與圓相切，存在點P，使∠CPE=45°，再利用△APO∽△AOB和△AMP∽△AOB相似得出點P的坐標，再求出OP所在的直線解析式．

解答：解：（1）①如圖，

∵∠COE=90°
∴∠CFE=

1

2

∠COE=45°，（圓周角定理）
②方法一：
如圖，作OM⊥AB點M，連接OF，

∵OM⊥AB，直線的函數(shù)式為：y=-

3

4

x+b，
∴OM所在的直線函數(shù)式為：y=

4

3

x，
∴交點M（

12

25

b，

16

25

b）
∴OM²=（

12

25

b）²+（

16

25

b）²，
∵OF=4，
∴FM²=OF²-OM²=4²-（

12

25

b）²-（

16

25

b）²，
∵FM=

1

2

FG，
∴FG²=4FM²=4×[4²-（

12

25

b）²-（

16

25

b）²]=64-

64

25

b²=64×（1-

1

25

b²），
∵直線AB與

CD

有兩個交點F、G．
∴4≤b＜5，
∴FG²=64×（1-

1

25

b²）    （4≤b＜5）
方法二：
①如圖，作OM⊥AB點M，連接OF，

∵直線的函數(shù)式為：y=-

3

4

x+b，
∴B的坐標為（0，b），A的坐標為（

4

3

b，0），
∴AB=

OB2+OA2

=

5

3

b，
∴sin∠BAO=

BO

AB

=

b

5 3 b

=

3

5

，
∴sin∠MAO=

OM

AO

=

OM

4 3 b

=

3

5

，
∴OM=

4

5

b，
∴在RT△OMF中，
FM=

OF2-OM2

=

42-( 4 5 b)2

∵FG=2FM，
∴FG²=4FM²=4（4²-

16

25

b²）=64--

64

25

b²=64×（1-

1

25

b²），
∵直線AB與

CD

有兩個交點F、G．
∴4≤b＜5，
∴FG²=64×（1-

1

25

b²）    （4≤b＜5）
（2）如圖，

當b=5時，直線與圓相切，
∵在直角坐標系中，∠COE=90°，
∴∠CPE=∠ODC=45°，
∴存在點P，使∠CPE=45°，
連接OP，
∵P是切點，
∴OP⊥AB，
∴△APO∽△AOB，
∴

OP

OB

=

AP

AO

，
∵OP=r=4，OB=5，AO=

20

3

，
∴

4

5

=

AP

20 3

即AP=

16

3

，
∵AB=

OB2+OA2

=

52+( 20 3 )2

=

25

3

，
作PM⊥AO交AO于點M，設(shè)P的坐標為（x，y），
∵△AMP∽△AOB，
∴

PM

BO

=

AP

AB

∴

y

5

=

16 3

25 3

，
∴y=

16

5

，
∴x=OM=

OP2-PM2

=

42-( 16 5 )2

=

12

5

∴點P的坐標為（

12

5

，

16

5

）．
當b＞5時，直線與圓相離，不存在P

點評：本題主要考查了圓與一次函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用三角形相似求出點P的坐標．