Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

（1）如圖，直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)為線段一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），當(dāng)的值最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）將沿直線翻折得，再將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，在旋轉(zhuǎn)過程中直線與直線相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的長(zhǎng)為或3或．

【解析】

（1）首先求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再設(shè)過點(diǎn)且平行于的直線解析式為．求出與的交點(diǎn)坐標(biāo)，

再將沿軸翻折交軸于點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)．求出，推出當(dāng)共線時(shí)，的值最小，即為的值，

由直線和直線即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）分三種情況討論分析，即當(dāng)時(shí)，作于點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合；當(dāng)時(shí)，．

解：（1）令，即，

解得，，

，．

令，得，

．

設(shè)直線的解析式為，

解得

直線．

設(shè)過點(diǎn)且平行于的直線解析式為．

當(dāng)與只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的值最大，由，

得，此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

，

此時(shí)，

．

如圖1，將沿軸翻折交軸于點(diǎn)S，作于點(diǎn)，于點(diǎn)．

，

，

，

，

，

，

當(dāng)共線時(shí)，的值最小，即為的值

，，

直線．

，

設(shè)直線．

，

，

，

直線．

由和，

解得

．

（2）①如圖2，當(dāng)時(shí)，作于點(diǎn)．

，，

，，，

．

設(shè)，則．

，

，解得，

．

②如圖3，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合，此時(shí)，．

③如圖4，當(dāng)時(shí)，，

．，

解可得．

綜上所述當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或3或．