Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（6，0），點B（0，6），動點C在以半徑為3的⊙O上運動，連接OC，過O點作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點D（其中點C、O、D按逆時針方向排列），連接AB．
（1）當OC∥AB時，∠BOC的度數(shù)為

 

；
（2）連接AC，BC，在點C運動過程中，△ABC的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點A和點B坐標易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當C點在y軸左側時，有∠BOC=∠OBA=45°；當C點在y軸右側時，有∠BOC=180°-∠OBA=135°，從而得出答案；
（2）由△OAB為等腰直角三角形得AB=

2

OA=6

2

，根據(jù)三角形面積公式得到當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長然后利用等腰直角三角形的性質計算出OE，然后計算△ABC的面積；

解答：解：（1）∵點A（6，0），點B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴當C點在y軸左側時，∠BOC=∠OBA=45°，
當C點在y軸右側時，∠BOC=180°-∠OBA=135°，
∴∠OBA=45°或135°；
故答案為：45°或135°．

（3）∵△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA=6

2

，
∴當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，
過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，
如圖：此時C點到AB的距離最大值為CE的長，
∵△OAB為等腰直角三角形，
∴OE=

1

2

AB=3

2

，
∴CE=OC+OE=3+3

2

，△ABC的面積=

1

2

CE•AB=

1

2

（3+3

2

）×6

2

=9

2

+18，
當點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與圓的交點位置時，△ABC的面積最大，最大值為9

2

+18．

點評：本題考查了圓的綜合題，用到的知識點是平行線的性質和等腰直角三角形的判定與性質；熟練運用勾股定理進行幾何計算是本題的關鍵．