Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點E與點C重合，得△GFC．

（1）求證：BE=DG；
（2）已知tanB= ，AB=5，若四邊形ABFG是菱形，求平行四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB=CD，

∵AE⊥BC，CG∥AE，

∴CG⊥AD，

∴∠AEB=∠CGD=90°，AE=CG，

在Rt△ABE和Rt△CDG中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△CDG，

∴BE=DG．

（2）解：∵tanB= = ，設(shè)AE=4k，BE=3k，

∵AB2=AE2+BE2，

∴52=（3k）2+（4k）2，

∴k=1，

∴AE=4，BE=3，

∵四邊形ABFG是菱形，

∴AG=AB=5，

∵四邊形AGCE是矩形，

∴AG=EC=5，

∴BC=3+5=8，

∴S平行四邊形ABCD=BCAE=32．

【解析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出CG⊥AD、AE=CG，根據(jù)直角三角形全等判定方法，證明Rt△ABE≌Rt△CDG，即可求證結(jié)論。
（2）根據(jù)tanB及AB的值，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理及解直角三角形，易求得AE、BE的長，由四邊形ABFG是菱形，求出AG的值，四邊形AGCE是矩形，求出EC、BC的值，即可求出平行四邊形ABCD的面積。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分，以及對菱形的性質(zhì)的理解，了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．