Question

如圖，⊙O是△ABC外接圓，AB是⊙O的直徑，弦DE⊥AB于點(diǎn)H，DE與AC相交于點(diǎn)G，DE、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，P是GF的中點(diǎn)，連接PC．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑是1，

AC

=

DE

，∠ABC=45°，求OH的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OC，利用AB是⊙O的直徑，得出∠ACB=∠FCG=90°，再由P是GF的中點(diǎn)，在Rt△FCG中得出∠PCG=∠PGC，然后利用角的關(guān)系得出PC是⊙O的切線；
（2）連接OE，交AC于點(diǎn)M，由AB是⊙O的直徑，弦DE⊥AB，得出

AD

=

DE

，由

AC

=

DE

，可得出

AE

=

EC

，得出△AOM是等腰直角三角形，可求出OM，因?yàn)镺H=OM所以求出OM即可．

解答：解：（1）如圖，連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠FCG=90°，
∵P是GF的中點(diǎn)，
∴PC=PF=PG，
∴∠PCG=∠PGC，
∵∠PGC=∠HGA，DE⊥AB
∴∠A+∠HGA=90°，
∴∠A+∠PGC=90°，
∵∠A=∠ACO，
∴∠ACO+∠HGA=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切線；
（2）如圖2，連接OE，交AC于點(diǎn)M，

∵AB是⊙O的直徑，弦DE⊥AB，
∴

AD

=

AE

，
∵

AC

=

DE

，
∴

AE

=

EC

，
∴OE⊥AC，
∴∠OMA=90°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠AOM=45°，
∵AO=1，
∴OM=

2

2

，
∵

AC

=

DE

，
∴AC=DE，OH=OM，
∴OH=OM=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線利用圓的有關(guān)知識(shí)求解．