Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點O為原點，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一，二，三象限，且與反比例函數(shù)圖象相交于A，B兩點，線段OB=

5

，且點B的坐標(biāo)為（2n，n），其中n＜0．設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m，△ABO面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：計算題

分析：根據(jù)兩點間的距離公式得到（2n）²+n²=（

5

）²，由于n＜0，則n=-1，得到B（-2，-1），再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

；
則點A的坐標(biāo)可表示為（m，

2

m

），然后再利用待定系數(shù)法得到直線AB的解析式為y=

1

m

x+

2-m

m

，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得

1

m

＞0且

2-m

m

＞0，所以m的取值范圍是0＜m＜2；接著確定直線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，

2-m

m

），然后利用S=S_△AOC+S_△BOC求解．

解答：解：∵OB=

5

，且點B的坐標(biāo)為（2n，n），
∴（2n）²+n²=（

5

）²，解得n₁=1，n₂=-1，
∵n＜0，
∴n=-1，
∴B點的坐標(biāo)為（-2，-1），
設(shè)反比例函數(shù)為y=

k1

x

，
把B（-2，-1）代入得k₁=（-2）×（-1）=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

；
設(shè)點A的坐標(biāo)為（m，

2

m

），
把A（m，

2

m

），B（-2，-1）代入y=kx+b得

mk+b= 2 m -2k+b=-1

，
解得

k= 1 m b= 2-m m

，
∴直線AB的解析式為y=

1

m

x+

2-m

m

，
∵直線AB的圖象經(jīng)過第一，二，三象限
∴

1

m

＞0且

2-m

m

＞0，
∴m的取值范圍是0＜m＜2；
把x=0代入y=

1

m

x+

2-m

m

得y=

2-m

m

，
∴直線與y軸的交點C的坐標(biāo)為（0，

2-m

m

）
∴S=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×

2-m

m

×m+

1

2

×

2-m

m

×2
=

4-m2

2m

，
即S與m的函數(shù)關(guān)系式為S=

4-m2

2m

（0＜m＜2）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．