Question

在數(shù)學(xué)活動中，小明為了求 2+2²+2³…+2^n-1+2ⁿ的值，寫出下列解題過程．
設(shè)：S=2+2²+2³…+2^n-1+2ⁿ①
兩邊同乘以2得：
2S=2²+2³…+2^n-1+2ⁿ+2ⁿ⁺¹②
由②-①得：S=2ⁿ⁺¹-2
（1）應(yīng)用結(jié)論：2+2²+2³…+2¹⁰⁰=

 

；
（2）拓展探究：
①求：4+4²+4³…+4^n-1+4ⁿ的值；
②直接寫出：

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

=

 

，
小明設(shè)計(jì)一個(gè)如圖的幾何圖形來表示：

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

的值，正方形的邊長為1．請你利用圖1，在圖2再設(shè)計(jì)一個(gè)能求：

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

的值的幾何圖形．

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：開放型

分析：（1）類比例題給與的方法得出結(jié)論即可；
（2）①類比（1）的方法解答即可；
②結(jié)合圖形分析計(jì)算其面積和的方法是總面積減去剩下的面積．

解答：解：（1）設(shè)S=1+2+2²+2³+…+2¹⁰⁰①
則2S=2+2²+2³+…+2¹⁰⁰+2¹⁰¹，②
②-①得，S=2¹⁰¹-1．
（2）①設(shè)S=4+4²+4³…+4^n-1+4ⁿ；①
則4S=4²+4³…+4^n-1+4ⁿ+4ⁿ⁺¹；②
②-①得3S=4ⁿ⁺¹-4，
則S=

4n+1-4

3

．
②如圖：
．

點(diǎn)評：此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，注意觀察式子的前后變化，找出規(guī)律，解決問題．