Question

已知關于x的一元二次方程（a﹣c）x²﹣2bx+（a+c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．

（1）如果x=1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【考點】根的判別式；一元二次方程的解；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．

【分析】（1）根據根的定義，把x=1代入即可得出△ABC的形狀；

（2）根據根的判別式得出b²﹣4ac=0，即可得出a，b，c的關系，即可根據勾股定理的逆定理判斷△ABC的形狀．

【解答】解：（1）∵x=1是一元二次方程（a﹣c）x²﹣2bx+（a+c）=0的根，

∴（a﹣c）﹣2b+（a+c）=0，

∴a=b，

∵a﹣c≠0，

∴a≠c，

∴△ABC為等腰三角形；

（2）∵方程有兩個相等的實數(shù)根，

∴b²﹣4ac=0，

即4b²﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴b²+c²=a²，

∴△ABC為直角三角形．

【點評】本題考查了根的判別式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握各個定理的內容是解題的關鍵．