Question

（本題滿分分）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D是邊AC上的一點(diǎn)，連接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一點(diǎn)，以BE為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若∠A=60°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號和π）

Answer 1

（1）證明：∵OD＝OB，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，而∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，∵∠A＋∠C＝90°，∴∠DOC＋∠C＝90°，∴OD⊥DC，∴AC是⊙O的切線；

（2）2－．

【解析】

（1）由OD＝OB，得∠1＝∠ODB，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得，∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，而∠A＝2∠1，得∠DOC＝∠A，又∠A＋∠C＝90°，得OD⊥DC，即可；

（2）陰影部分的面積＝S△COD－S扇形DOE＝×2×2－＝2－．

考點(diǎn)：切線的判定；扇形面積的計算．