Question

求函數(shù)y=

x2+4x+5

+

x2-4x+8

的最小值．

Answer 1

考點：無理函數(shù)的最值

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：可將不熟悉的“求兩個二次根式和的最小值”的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的“求兩條線段和的最小值“的問題．若A的坐標為（x，0），B的坐標為（-2，1），C的坐標為（2，2），則根據(jù)勾股定理可得AB=

(x+2)2+12

，AC=

(x-2)2+22

，從而得到y(tǒng)=AB+AC，只需求出AB+AC的最小值就可解決問題．

解答：解：如圖，B的坐標為（-2，1），C的坐標為（2，2），點A在x軸上．
過點B作BD⊥x軸于D，過點C作CE⊥x軸于E，延長CE到點C′，使得EC′=EC，連接AB、AC、AC′、BC′，
則點C′的坐標為（2，-2）．
設(shè)點A的坐標為（x，0），
在Rt△ADB中，
∵AD=

.

x-(-2)

.

=

.

x+2

.

，BD=1，
∴AB=

AD2+BD2

=

(x+2)2+12

=

x2+4x+5

．
在Rt△AEC中，
∵AE=

.

2-x

.

，CE=2，
∴AC=

AE2+CE2

=

(2-x)2+22

=

x2-4x+8

．
∵AE⊥CC′，CE=C′E，∴AC=AC′．
∴y=

x2+4x+5

+

x2-4x+8

=AB+AC=AB+AC′．
根據(jù)兩點之間線段最短可得：
當B、A、C′三點共線時，y取到最小值，等于BC′長．
過點C′作C′H⊥BD交BD的延長線于H，
在Rt△BHC′中，
∵BH=1-（-2）=3，C′H=2-（-2）=4，
∴BC′=

BH2+C′H2

=5．
∴y=

x2+4x+5

+

x2-4x+8

的最小值為5．

點評：本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，考查了創(chuàng)造性思維和數(shù)形結(jié)合的思想，而把問題轉(zhuǎn)化為求線段和的最小值是解決本題的關(guān)鍵．