Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，點M在BC上，使得△ADM是正三角形，則△ADM的面積是

 

．

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：

分析：補成正方形，相當于正方形中的內(nèi)接正三角形，毫無疑問有：△ABM≌△AED，△CDM為等腰直角三角形，設MB=x，由勾股定理可得x的值，繼而求得答案．

解答：解：過A點作AE⊥CD交CD的延長線于E．
∵∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，
∴四邊形ABCE是正方形．
∵△ADM是正三角形，
∴AD=AM，∠E=∠B=90°，AE=AB，
在Rt△ABM和Rt△AED中，

AM=AD AB=AE

，
∴Rt△ABM≌Rt△AED（HL），
∴∠ADE=∠AMB，
∴∠CDM=∠CMD，
∴CD=CM，
∴△CDM是等腰直角三角形，
設MB=x，則ED=x，CD=CM=10-x．
∴AM=DM=

2

CD=

2

（10-x），
在Rt△ABM中，MB²+AB²=AM²，
∴10²+x²=2（10-x）²
解得x=20-10

3

，x=20+10

3

（不合題意舍去），
∴MB=20-10

3

，CD=10

3

-10，
∴S_△ADM=S_{正方形ABCE}-2S_△ABM-S_△CDM=100-2×

1

2

×10×（20-10

3

）-

1

2

（10

3

-10）²=200

3

-300．
故答案為：200

3

-300．

點評：本題考查了正方形、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．