Question

如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=－x于點(diǎn)N．若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是　 　．

Answer 1

。

首先，需要找出點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡），其次，才是求出路徑長(zhǎng)。由題意可知，OM=，點(diǎn)N在直線y=－x上，AC⊥x軸于點(diǎn)M，則△OMN為等腰直角三角形，∴ ON=。如圖①所示，

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在O點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為B₀，動(dòng)點(diǎn)P在N點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為B_n，連接B₀B_n．
∵AO⊥AB₀，AN⊥AB_n，∴∠OAC=∠B₀AB_n。
又∵AB₀=AO•tan30°，AB_n=AN•tan30°，
∴AB₀：AO=AB_n：AN=tan30°。
∴△AB₀B_n∽△AON，且相似比為tan30°。
∴B₀B_n=ON•tan30°=。
現(xiàn)在來(lái)證明線段B₀B_n就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）：
如圖②所示，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為B_i，連接AP，AB_i，B₀B_i。
∵AO⊥AB₀，AP⊥AB_i，∴∠OAP=∠B₀AB_i。
又∵AB₀=AO•tan30°，AB_i=AP•tan30°，∴AB₀：AO=AB_i：AP。
∴△AB₀B_i∽△AOP，∴∠AB₀B_i=∠AOP。
又∵△AB₀B_n∽△AON，∴∠AB₀B_n=∠AOP。
∴∠AB₀B_i=∠AB₀B_n。
∴點(diǎn)B_i在線段B₀B_n上，即線段B₀B_n就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）。
綜上所述，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）是線段B₀B_n，其長(zhǎng)度為。