Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對角線AC=12，tan∠ACO=，

（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）把矩形沿直線DE對折使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，DE與AC相交于點(diǎn)F，求直線DE的解析式；
（3）若點(diǎn)M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以O(shè)、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）C的坐標(biāo)是：（6，0），B的坐標(biāo)是（6，6）。
（2）直線DE的解析式是：y=x﹣6。
（3）N的坐標(biāo)是：（3，）或（﹣3，）或（，3）。

試題分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)求得OA以及OC的長度，則C、B的坐標(biāo)即可得到。
解：在直角△OAC中，，
∴設(shè)OA=x，則OC=3x，
根據(jù)勾股定理得：（3x）²+（x）²=AC²，即9x²+3x²=144，解得：x=2。
∴C的坐標(biāo)是：（6，0），B的坐標(biāo)是（6，6）。
（2）直線DE是AC的中垂線，應(yīng)用待定系數(shù)法以及銳角三角函數(shù)定義即可求得DE的解析式。
解：∵F是AC的中點(diǎn)，∴根據(jù)對折的性質(zhì)，F(xiàn)的坐標(biāo)是（3，3）。
設(shè)D（d，0），則根據(jù)對折的性質(zhì)，E（，6）。
如圖，過點(diǎn)E作EH⊥OC于點(diǎn)H，則HE=6，DH=。

易證∠DEH=∠ACO，
∵，∴，
即，解得。
∴D（，0）
設(shè)直線DE的解析式是y=" k" x+b，將點(diǎn)D、F的坐標(biāo)代入，得
，解得
∴直線DE的解析式是：y=x﹣6。
（3）分當(dāng)FM是菱形的邊和當(dāng)OF是對角線兩種情況進(jìn)行討論，利用三角函數(shù)即可求得N的坐標(biāo)：
OF=AC=6。
∵，
∴30°。∴DE與x軸夾角是60°。
當(dāng)FM是菱形的邊時(shí)（如圖），ON∥FM，

則∠NOC=60°或120°。
當(dāng)∠NOC=60°時(shí)，過N作NG⊥y軸，
∴NG=ON•sin30°=6×=3，OG=ON•cos30°=6×=。
∴N的坐標(biāo)是（3，）。
當(dāng)∠NOC=120°時(shí)，與當(dāng)∠NOC=60°時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則N的坐標(biāo)是（﹣3，）。
當(dāng)OF是對角線時(shí)（如圖），MN關(guān)于OF對稱。

∵F的坐標(biāo)是（，3），∴∠FOD=∠NOF=30°。
在Rt△ONH中，OH=OF=3，。
作NL⊥y軸于點(diǎn)L，
在Rt△ONL中，∠NOL=30°，
∴NL=ON=，OL=ON•cos30°=2×=3。
∴N的坐標(biāo)是（，3）。
綜上所述，N的坐標(biāo)是：（3，）或（﹣3，）或（，3）。