Question

【題目】定義：若一個(gè)三角形中，其中有一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角的一半，則這樣的三角形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在鈍角三角形中，，，，過(guò)點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)．點(diǎn)在直線上，且．

（1）若，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上．

① 當(dāng)，點(diǎn)恰好為中點(diǎn)時(shí)，依據(jù)題意補(bǔ)全圖1.請(qǐng)寫(xiě)出圖中的一個(gè)“半角三角形”：_______;

② 如圖2，若，圖中是否存在“半角三角形”（△除外），若存在，請(qǐng)寫(xiě)出圖中的“半角三角形”，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如圖3，若，保持的度數(shù)與（1）中②的結(jié)論相同，請(qǐng)直接寫(xiě)出，， 滿足的數(shù)量關(guān)系：______．

Answer 1

【答案】（1）① 如圖，見(jiàn)解析；△或△或△或△; ②存在，“半角三角形”為△；證明見(jiàn)解析；（2）或．

【解析】

（1）①根據(jù)題干描述作出圖形即可，利用等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)“一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角的一半”的三角形符合題意，可得出結(jié)果.②延長(zhǎng)到，使得，連接，構(gòu)造全等三角形△≌△．再利用全等三角形的性質(zhì)以及相關(guān)角度的轉(zhuǎn)化，可求得，從而可得出結(jié)果.

（2）由（1）中②可知，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接BF，構(gòu)造全等三角形△≌△，進(jìn)而可得出.因?yàn)?/span>，所以以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓與直線一定有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)?shù)谝环N情況成立時(shí)，必定存在一個(gè)與它互補(bǔ)的，所以可得出另外一種情況.

（1）① 如圖，

圖中的一個(gè) “半角三角形”：△或△或△或△;
② 存在，“半角三角形”為△.

延長(zhǎng)到，使得，連接．

∵，

∴ .

∴ .

∵，

∴．

∴．

在△和△中，

∴ △≌△.

∴ ，.

∵ ，

∴ .

∴．

∴∠BAE=2∠BEA,

∴△ 為“半角三角形”.

（2）或.

解：①延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接BF,

∵，，

∴△≌△.

過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，

于點(diǎn),

可得.

∴.

②因?yàn)?/span>，所以以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓與直線一定有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)?shù)谝环N情況成立時(shí)，必定存在一個(gè)與它互補(bǔ)的．

可知：.

綜上所述，這三個(gè)角之間的關(guān)系有兩種，

或．