Question

在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中點(diǎn)，P是線段上的動點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ．線段CQ的延長線交射線BM于點(diǎn)D，連接AD．

（1）若α=60°且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合（如圖1），求證四邊形ABCD為菱形；
（2）在圖2中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，猜想∠CDB的大�。ㄓ煤�α的代數(shù)式表示），并加以證明；
（3）對于適當(dāng)大小的α，當(dāng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動到某一位置（不與點(diǎn)B，M重合）時(shí)，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點(diǎn)D，且PQ=QD，請直接寫出α的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）由條件可得出AB=BC=AC，再利用旋轉(zhuǎn)可得出QM=MC，證得CB=CD=BA，可證明四邊形ABCD為平行四邊形，結(jié)合AB=BC可知其為菱形；
（2）由（1）可得BM為AC的垂直平分線，結(jié)合條件可以得出Q，C，A在以P為圓心，PA為半徑的圓上，由圓周角定理可得∠ACQ=

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2

∠APQ=α，可得出∠CDB和α的關(guān)系；
（3）借助（2）的結(jié)論和PQ=QD，可得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，結(jié)合∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，代入可得出α的范圍．

解答：解：（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，
∴AB=BC=AC，∠ABC=60°，
∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，
∴MB⊥AC，∠CBM=30°，AM=MC，
∴QM=MC，
∴∠MCQ=

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2

∠AMQ=60°，
∴∠CDM=30°=∠CBM，
∴CB=DC=BA，
∴DC=BA，DC∥BA，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵BA=BC，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）∠CDB=90°-α，證明如下：
連接PC，

由（1）得BM垂直平分AC，
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC=PA，
∴Q，C，A在以P為圓心，PA為半徑的圓上，
∴∠ACQ=

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2

∠APQ=α，
∴∠BAC=∠ACD，
∴DC∥BA，
∴∠CDB=∠ABD=90°-α；
（3）∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∴2α＞180°-2α＞α，
∴45°＜α＜60°．

點(diǎn)評：本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)及圓周角定理、垂直平分線等知識的綜合應(yīng)用，在（1）中掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵，在（2）中得出Q、C、A三點(diǎn)共圓利用圓周角定理得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵．