【題目】如圖,直線x=-4與x軸交于點E,一開口向上的拋物線過原點交線段OE于點A,交直線x=-4于點B,過B且平行于x軸的直線與拋物線交于點C,直線OC交直線AB于D,且AD:BD=1:3.

(1)求點A的坐標;

(2)若OBC是等腰三角形,求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】(1點A的坐標為(2,0)。

(2)此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為

【解析】

(1)過點D作DFx軸于點F,由拋物線的對稱性可知OF=AF,則2AF+AE=4,由DFBE,得到ADF∽△ABE,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 ,即AE=2AF聯(lián)立組成二元一次方程組,解出AE=2,AF=1,進而得到點A的坐標

(2)先由拋物線過原點(0,0),設(shè)此拋物線的交點式為,再根據(jù)拋物線過原點(0,0)和A點(2,0),求出對稱軸為直線x=-1,則由B點橫坐標為-4得出C點橫坐標為2,BC=6.再由OB>OC,可知當OBC是等腰三角形時,可分兩種情況討論:當OB=BC時,設(shè)B(4,y1),列出方程,解方程求出y1的值,將B點坐標代入,運用待定系數(shù)法求出此拋物線的解析式;當OC=BC時,設(shè)C(2,y2),列出方程,解方程求出y2的值,將C點坐標代入,運用待定系數(shù)法求出此拋物線的解析式。

解:(1)如圖,過點D作DFx軸于點F,

由題意,可知OF=AF,則2AF+AE=4

DFBE,∴△ADF∽△ABE。

,即AE=2AF。

聯(lián)立,解得AE=2,AF=1。

點A的坐標為(-2,0)。

(2)拋物線過原點(0,0)和點A(-2,0),

可設(shè)此拋物線的解析式為,且對稱軸為直線x=-1。

B、C兩點關(guān)于直線x=-1對稱,B點橫坐標為-4,C點橫坐標為2。

BC=2-(-4)=6。

拋物線開口向上,∴∠OAB>90°,OB>AB=OC。

OBC是等腰三角形時,分兩種情況討論:

當OB=BC時,設(shè)B(-4,y1),則,解得(負值舍去)。

B(-4,)。

將B(-4,)代入,得,解得。

此拋物線的解析式為,即。

當OC=BC時,設(shè)C(2,y2),則,解得(負值舍去)。

C(2,)。

將A C(2,)代入,得得,解得

此拋物線的解析式為,即

綜上所述,若OBC是等腰三角形,此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為

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乙廠:,,,,,,

丙廠:,,,,,,

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