【題目】如圖,拋物線y=﹣(x﹣1)2+c與x軸交于A,B(A,B分別在y軸的左右兩側(cè))兩點(diǎn),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,已知A(﹣1,0).
(1)求點(diǎn)B,C的坐標(biāo);
(2)判斷△CDB的形狀并說明理由;
(3)將△COB沿x軸向右平移t個單位長度(0<t<3)得到△QPE.△QPE與△CDB重疊部分(如圖中陰影部分)面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.
【答案】
(1)
解:∵點(diǎn)A(﹣1,0)在拋物線y=﹣(x﹣1)2+c上,
∴0=﹣(﹣1﹣1)2+c,得c=4,
∴拋物線解析式為:y=﹣(x﹣1)2+4,
令x=0,得y=3,∴C(0,3);
令y=0,得x=﹣1或x=3,∴B(3,0).
(2)
解:△CDB為直角三角形.理由如下:
由拋物線解析式,得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4).
如答圖1所示,過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M,則OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2.
過點(diǎn)C作CN⊥DM于點(diǎn)N,則CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1.
在Rt△OBC中,由勾股定理得:BC= = = ;
在Rt△CND中,由勾股定理得:CD= = = ;
在Rt△BMD中,由勾股定理得:BD= = = .
∵BC2+CD2=BD2,
∴△CDB為直角三角形(勾股定理的逆定理).
(3)
解:設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,∵B(3,0),C(0,3),
∴ ,
解得k=﹣1,b=3,
∴y=﹣x+3,
直線QE是直線BC向右平移t個單位得到,
∴直線QE的解析式為:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t;
設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n,∵B(3,0),D(1,4),
∴ ,
解得:m=﹣2,n=6,
∴y=﹣2x+6.
連接CQ并延長,射線CQ交BD于點(diǎn)G,則G( ,3).
在△COB向右平移的過程中:
(I)當(dāng)0<t≤ 時,如答圖2所示:
設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t.
設(shè)QE與BD的交點(diǎn)為F,則: ,解得 ,∴F(3﹣t,2t).
S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE= PEPQ﹣ PBPK﹣ BEyF= ×3×3﹣ (3﹣t)2﹣ t2t= t2+3t;
(II)當(dāng) <t<3時,如答圖3所示:
設(shè)PQ分別與BC、BD交于點(diǎn)K、點(diǎn)J.
∵CQ=t,
∴KQ=t,PK=PB=3﹣t.
直線BD解析式為y=﹣2x+6,令x=t,得y=6﹣2t,
∴J(t,6﹣2t).
S=S△PBJ﹣S△PBK= PBPJ﹣ PBPK= (3﹣t)(6﹣2t)﹣ (3﹣t)2= t2﹣3t+ .
綜上所述,S與t的函數(shù)關(guān)系式為:
S= .
【解析】(1)首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,然后進(jìn)一步確定點(diǎn)B,C的坐標(biāo);(2)分別求出△CDB三邊的長度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形;(3)△COB沿x軸向右平移過程中,分兩個階段:(I)當(dāng)0<t≤ 時,如答圖2所示,此時重疊部分為一個四邊形;(II)當(dāng) <t<3時,如答圖3所示,此時重疊部分為一個三角形.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,將△ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)n度后,得到△EDC,此時,點(diǎn)D在AB邊上,斜邊DE交AC邊于點(diǎn)F,則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為 .
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【題目】如圖,在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形中,點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△AB′C′;
(2)求△ABC的面積為_______;
(3)在直線l上找一點(diǎn)P,使PB+PC的長最短,則這個最短長度為______.
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【題目】如圖,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC="70"o,求∠AGD。
解:∵EF∥AD,
∴∠2=∠3( )
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴AB∥DG ( )
∴∠BAC+ ="180"o( )
∵∠BAC=70 o,∴∠AGD= 。
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【題目】在△ABC中,∠BAC=120°,AD平分∠BAC,且AD=AB,若∠EDF=60°,其兩邊分別交邊AB,AC于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)求證:△ABD是等邊三角形;
(2)求證:BE=AF.
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【題目】如圖所示的方格紙中每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(﹣1,0)、B(4,﹣1)、C(3,2).
(1)在所給的直角坐標(biāo)系中畫出△ABC;
(2)把△ABC向左平移3個單位,再向上平移2個單位得到△A′B′C′,畫出△A′B′C′并寫出點(diǎn)C′的坐標(biāo);
(3)求△A′B′C′的面積.
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【題目】將一副直角三角尺(即直角三角形AOB和直角三角形COD)的直角頂點(diǎn)O的重合,其中,在△AOB中,∠A=60°,∠B=30°,∠AOB=90°;在△COD中,∠C=∠D=45°,∠COD=90°.
(1)如圖1,當(dāng)OA在∠COD的外部,且∠AOC=45°時,①試說明CO平分∠AOB; ②試說明OA∥CD(要求書寫過程);
(2)如圖2,繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)直角三角尺AOB,使OA在∠COD的內(nèi)部,且CD∥OB,試探索∠AOC=45°是否成立,并說明理由.
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【題目】已知:如圖,△ABC的面積為84,BC=21,現(xiàn)將△ABC沿直線BC向右平移a(0<a<21)個單位到△DEF的位置.
(1)求BC邊上的高;
(2)若AB=10,
①求線段DF的長;
②連結(jié)AE,當(dāng)△ABE時等腰三角形時,求a的值.
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【題目】楊輝是我國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家和教育家,下圖是楊輝在公元1261年著作《詳解九章算法》里面的一張圖,即“楊輝三角”,該圖中有很多規(guī)律,請仔細(xì)觀察,解答下列問題:
(1)圖中給出了七行數(shù)字,根據(jù)構(gòu)成規(guī)律,第8行中從右邊數(shù)第4個數(shù)是_______;
(2)利用不完全歸納法探索出第行中的所有數(shù)字之和為_________.
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