Question

 在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O；在Rt△PMN中，∠MPN90°.

（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點(diǎn)E、F，請(qǐng)直接寫(xiě)出PE與PF的數(shù)量關(guān)系；

（2）將圖1中的Rt△PMN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°<α<45°）.

如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（1）中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠DOM15°時(shí)，連接EF，若正方形的邊長(zhǎng)為2，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EF的長(zhǎng)；

如圖3，旋轉(zhuǎn)后，若Rt△PMN的頂點(diǎn)P在線段OB上移動(dòng)（不與點(diǎn)O、B重合），當(dāng)BD3BP時(shí)，猜想此時(shí)PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)BDm·BP時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出PE與PF的數(shù)量關(guān)系.

 

  

Answer 1

.解：（1）PE=PF                    ……………………2分

（2）成立                    ……………………3分

證明：如圖所示，

    ∵AC、BD是正方形ABCD的對(duì)角線

    ∴OA=OD，∠FAO=∠EDO=45°，∠AOD=90°

∴∠DOE+∠AOE=90°

∵∠MPN=90°

    ∴∠FOA+∠AOE=90°

    ∴∠FOA=∠DOE

    ∴△FOA≌△EOD

    ∴OE=OF

    即PE=PF                  ……………………6分

EF=                     ……………………8分

PE=2PF                 ……………………9分

證明：方法一

如圖，過(guò)點(diǎn)P作HP⊥BD交AB于點(diǎn)H，

則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90°

∴HP=BP

∵BD=3BP

∴PD=2BP

∴PD=2 HP

又∵∠HPF+∠HPE =90°，∠DPE+∠HPE =90°

∴∠HPF =∠DPE

又∵∠BHP =∠EDP=45°

∴△PHF∽△PDE            …………………10分

∴

即PE=2PF                 ……………………11分

PE=(m-1)·PF               ……………………12分

方法二

如圖，過(guò)P點(diǎn)作PH⊥AB，PK⊥AD ，垂足為H、K

則四邊形AHPK為矩形

∵∠PHB=∠PKD=90°∠PBH=∠PDK=45°

∴△PHB∽△PKD

∴

∵BD=3BP

∴                        ……………………10分

∵∠HPF+∠FPK=90°∠KPE+∠FPK=90°

∴∠HPF=∠KPE

又∵∠PHF=∠PKE=90°

∴△PHF∽△PKE

∴

即PE=2PF                ……………………11分

PE=(m-1)·PF              ……………………12分