Question

如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α．過點A作BC的平行線與∠ABC的平分線交于點D，連接CD．

（1）求證：AC=AD；
（2）點G為線段CD延長線上一點，將射線GC繞著點G逆時針旋轉β，與射線BD交于點E．
①若β=α，GD=2AD，如圖2所示，求證：S_△DEG=2S_△BCD；
②若β=2α，GD=kAD，請直接寫出

S△DEG

S△BCD

的值（用含k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）利用平行線的性質(zhì)得出∠1=∠3，進而利用等腰三角形的性質(zhì)得出AC=AD即可；
（2）①利用已知得出∠GDE=∠BDC=90°-α，進而得出∠DEG=∠AHB=90°，則△DEG∽△AHB，進而利用相似三角形的性質(zhì)得出答案；
②利用①得出∠AHB=∠DFG=90°，進而利用角平分線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)得出即可．

解答：（1）證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴AB=AD．
∵AB=AC，
∴AC=AD．

（2）①證明：過A作AH⊥BC于點H．
由題意可得：∠AHB=90°．
∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ACB=∠ABC=α．
∴∠BAC=180°-2α．
由（1）得AB=AC=AD．
∴點B、C、D在以A為圓心，AB為半徑的圓上．
∴∠BDC=

1

2

∠BAC．
∴∠GDE=∠BDC=90°-α，
∵∠G=β=α=∠ABC，
∴∠G+∠GDE=90°．
∴∠DEG=∠AHB=90°．
∴△DEG∽△AHB．
∵GD=2AD，AB=AD，
∴

S△DEG

S△ABH

=

DG2

AB2

=4．
∵AD∥BC，
∴S_△BCD=S_△ABC=2S_△ABH．
∴S_△DEG=2S_△BCD；

②如圖3，

S△DEG

S△BCD

=k²．
理由：過A作AH⊥BC于點H，作∠DGE的平 分線GF，
∵由①得，∠DGF+∠GDE=90°，
∵∠AHB=∠DFG=90°．
又∵∠ABC=∠DGF=α，
∴△DFG∽△AHB．
又∵AB=AD，
∴

S△DFG

S△AHB

=

GD2

AB2

=

GD2

AD2

=k²．
∵∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=2CH，
∴S_△ABC=2S_△AHB．
∵∠DGF=∠EGF，GF⊥DE，
∴DE=2DF=2EF，
∴S_△DEG=2S_△DFG，
∴

S△DEG

S△ABC

=

2S△DFG

2S△AHB

=k²．
又∵S_△ABC=S_△BCD，
∴

S△DEG

S△BCD

=k²．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識，得出△ABH∽△DGF是解題關鍵．