Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，長方形 OABC，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（3，8），點(diǎn) A、C 分別在坐標(biāo)軸上，D 為 OC 的中點(diǎn).

（1）在 x 軸上找一點(diǎn) P，使得 PD＋PB 最小，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ；

（2）在 x 軸上找一點(diǎn) Q，使得|QD－QB|最大，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) P（1，0）;(2)見解析.

【解析】

（1）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)有PD=PD'，又根據(jù)三角形兩邊之和PD'+PB大于第三邊BD'，故B、P、D'在同一直線上時(shí)，PD+PB有最小值．求直線BD'的解析式后令y=0，求出其與x軸的交點(diǎn)，即此時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo);
（2）根據(jù)三角形兩邊之差|QD-QB|小于第三邊BD，故當(dāng)B、D、Q在同一直線上時(shí)，|QD-QB|=BD有最大值．求直線BD解析式后令y=0，求出此時(shí)Q的坐標(biāo)．

解：（1）作D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接BD'，交x軸于點(diǎn)P
∵PD=PD'
∴PD+PB=PD'+PB
∴當(dāng)B、P、D'在同一直線上時(shí)，PD+PB=BD'最小
∵四邊形OABC是矩形，B（3，8）
∴C（0，8）
∵D為OC中點(diǎn)
∴D（0，4）
∴D'（0，-4）
設(shè)直線BD'解析式為：y=kx+b

， 解得：，
∴直線BD'：y=4x-4
當(dāng)4x-4=0時(shí)，解得：x=1
故答案為：P（1，0）


（2）根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，|QD-QB|＜BD
∴當(dāng)B、D、Q在同一直線上時(shí)，|QD-QB|=BD最大
設(shè)直線BD解析式為：y=ax+c

， 解得：

∴直線BD：y=x+4
當(dāng)x+4=0時(shí)，解得：x=-3
∴點(diǎn)Q（-3，0）