【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊AD,CD上,

1)若AB6,AECF,點(diǎn)EAD的中點(diǎn),連接AEBF

如圖1,求證:BEBF3;

如圖2,連接AC,分別交AE,BFM,M,連接DM,DN,求四邊形BMDN的面積.

2)如圖3,過點(diǎn)DDHBE,垂足為H,連接CH,若∠DCH22.5°,則的值為   (直接寫出結(jié)果).

【答案】1)①詳見解析;②12;(2.

【解析】

1)①先求出AE3,進(jìn)而求出BE,再判斷出△BAE≌△BCF,即可得出結(jié)論;

②先求出BD6,再判斷出△AEM∽△CMB,進(jìn)而求出AM2,再判斷出四邊形BMDN是菱形,即可得出結(jié)論;

2)先判斷出∠DBH22.5°,再構(gòu)造等腰直角三角形,設(shè)出DH,進(jìn)而得出HG,BG,即可得出BH,結(jié)論得證.

解:(1)①∵四邊形ABCD是正方形,

ABBCAD6,∠BAD=∠BCD90°,

∵點(diǎn)E是中點(diǎn),

AEAD3,

RtABE中,根據(jù)勾股定理得,BE3

在△BAE和△BCF中,

∴△BAE≌△BCFSAS),

BEBF,

BEBF3

②如圖2,連接BD,

RtABC中,ACAB6,

BD6,

∵四邊形ABCD是正方形,

ADBC,

∴△AEM∽△CMB

,

,

AMAC2

同理:CN2,

MNACAMCN2

由①知,△ABE≌△CBF,

∴∠ABE=∠CBF,

ABBC,∠BAM=∠BCN45°,

∴△ABM≌△CBN

BMBN,

AC是正方形ABCD的對(duì)角線,

ABAD,∠BAM=∠DAM45°

AMAM,

∴△BAM≌△DAM

BMDM,

同理:BNDN,

BMDMDNBN,

∴四邊形BMDN是菱形,

S四邊形BMDNBD×MN×6×212;

2)如圖3,設(shè)DHa,

連接BD,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BCD90°

DHBH,

∴∠BHD90°,

∴點(diǎn)BC,DH四點(diǎn)共圓,

∴∠DBH=∠DCH22.5°,

BH上取一點(diǎn)G,使BGDG

∴∠DGH2DBH45°,

∴∠HDG45°=∠HGD

HGHDa,

RtDHG中,DGHDa,

BGa

BHBG+HGA+A=(+1a,

故答案為:

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1)在 x 軸上找一點(diǎn) P,使得 PDPB 最小,則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為

2)在 x 軸上找一點(diǎn) Q,使得|QDQB|最大,求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)并說(shuō)明理由.

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(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求 類所占圓心角的度數(shù);
(3)學(xué)校想從被調(diào)查的 類(1名男生2名女生)和D類(男女生各占一半)中分別選取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí),請(qǐng)用畫樹形圖或列表的方法求所選的兩位同學(xué)恰好是一男一女的概率.

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2)如圖2EG平分BEC,過點(diǎn)BBHGE,求FBHC之間的數(shù)量關(guān)系.

3)如圖3,CN平分ECD,若BF的反向延長(zhǎng)線和CN的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,且E+∠M130°,請(qǐng)直接寫出E的度數(shù).

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A. 2B. 4C. 6D. 8

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①求證:四邊形BFDE是菱形;

②直接寫出∠EBF的度數(shù).

2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究,如圖2,GI分別在BF,BE邊上,且BGBI,連接GD,HGD的中點(diǎn),連接FH,并延長(zhǎng)FHED于點(diǎn)J,連接IJ,IHIF,IG.試探究線段IHFH之間滿足的關(guān)系,并說(shuō)明理由;

3)把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究,如圖3,矩形ABCD滿足ABAD時(shí),點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),連接DE,作EFDE,垂足為點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接DF,交AC于點(diǎn)G.請(qǐng)直接寫出線段AG,GE,EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

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