Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，規(guī)定：拋物線的伴隨直線為．例如：拋物線的伴隨直線為，即y=2x﹣1．

（1）在上面規(guī)定下，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為　 　，伴隨直線為　 　，拋物線與其伴隨直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為　 　和　 　；

（2）如圖，頂點(diǎn)在第一象限的拋物線與其伴隨直線相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸交于點(diǎn)C，D．

①若∠CAB=90°，求m的值；

②如果點(diǎn)P（x，y）是直線BC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，△PBC的面積記為S，當(dāng)S取得最大值時，求m的值．

Answer 1

【答案】(1)(-1,-4);y=x-3;(0,-3);(-1,-4)；）（2）①m=- ; ②m=-2

【解析】試題分析：(1)、由拋物線的頂點(diǎn)式可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由伴隨直線的定義可求得伴隨直線的解析式，聯(lián)立伴隨直線和拋物線解析式可求得其交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)、①、可先用m表示出A、B、C、D的坐標(biāo)，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在Rt△ABC中由勾股定理可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值；②、由B、C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式，過P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)Q，則可用x表示出PQ的長，進(jìn)一步表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得到m的方程，可求得m的值．

試題解析：(1)、(-1,-4);y=x-3;(0,-3);(-1,-4)

(2)、①因為拋物線解析式為，所以其伴隨直線為，即。

聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得：，解得或，所以，，

在中，令可計算出或，所以，，

即，，，

若，則，即，

解得：（拋物線開口向下，舍去），，

所以當(dāng)時，；

②設(shè)直線的解析式為，如圖過作軸的垂線交于點(diǎn)，如圖所示：

因為點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，，因為是直線上方拋物線上的一個動點(diǎn)，

所以，

所以，。

當(dāng)時，的值有最大值，所以取得最大值時，即，計算得出．