Question

【題目】如圖，以BC為底邊的等腰△ABC，點D，E，G分別在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延長GE至點F，使得BE=BF．

（1）求證：四邊形BDEF為平行四邊形；
（2）當∠C=45°，BD=2時，求D，F(xiàn)兩點間的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC是等腰三角形，

∴∠ABC=∠C，

∵EG∥BC，DE∥AC，

∴∠AEG=∠ABC=∠C，四邊形CDEG是平行四邊形，

∴∠DEG=∠C，

∵BE=BF，

∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，

∴∠F=∠DEG，

∴BF∥DE，

∴四邊形BDEF為平行四邊形；

（2）解：∵∠C=45°，

∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，

∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，

∴BF=BE= BD= ，

作FM⊥BD于M，連接DF，如圖所示：

則△BFM是等腰直角三角形，

∴FM=BM= BF=1，

∴DM=3，

在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF= = ，

即D，F(xiàn)兩點間的距離為 ．

【解析】（1）要證四邊形BDEF為平行四邊形由已知EG∥BC，須證BF∥DE，可利用等腰三角形的性質(zhì)先證四邊形CDEG是平行四邊形，得出∠DEG=∠C，再通過轉化證出BF∥DE；（2）要求DF距離須把DF放在直角三角形中，因此需過F作BD的垂線構造直角三角形，可證出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由BD求出DE，進而求出BF、MF，由勾股定理求出DF.
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．