Question

將一個等腰直角三角板放在坐標系中，如圖所示，三個頂點坐標分別是A（0，2），B（2，1），C（1，-1），將三角板繞A點順時針轉α°后，使B點與x軸上的點D（-1，0）重合．
（1）寫出點E的坐標和α的值（直接寫出結果）；
（2）求出過B，C，E三點的拋物線的解析式；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAD是以AD為腰的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）E（-3，1）α=90
（2）設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c根據(jù)題意得：

9a-3b+c=1 a+b+c=-1 4a+2b+c=1

解得：

a= 1 2 b= 1 2 c=-2

∴解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2
（3）存在
①設拋物線的對稱軸于x軸交于點F，以D點為圓心，以AD為半徑畫弧，交對稱軸于P₁，P₂，
∵拋物線y=

1

2

x²+

1

2

x-2的對稱軸為x=-

1

2

∴DF=1-

1

2

=

1

2

∵在Rt△ADO中，OA=2，OD=1
∴AD=

22+1

=

5

∴FP1=

( 5 )2-( 1 2 )2

=

19

2

∴P₁（-

1

2

，

19

2

）
∵點P₁與點P₂關于x軸對稱
∴P₂（-

1

2

，-

19

2

）
②以A為圓心，以AD為半徑畫弧交x軸與P₃，P₄，
過A作AM垂直對稱軸于M，同理可求得P₃M=P₄M=

19

2

∴FP₃=FM+MP₃=2+

19

2

∴P₃（-

1

2

，2+

19

2

）
FP₄=MP₄-FM=

19

2

-2
∴P₄（-

1

2

，2-

19

2

）
綜上所述，點P的坐標分別為P₁（-

1

2

，

19

2

）、P₂（-

1

2

，-

19

2

）、P₃（-

1

2

，2+

19

2

）、P₄（-

1

2

，2-

19

2

）