Question

【題目】如圖，在正方形中，，點(diǎn)、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）AC等于多少；

（2）若，且點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)落在邊上，求的值；

（3）設(shè)，直線交直線于點(diǎn)，求與面積之和的最小值．（用含的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，與面積之和的最小值為.

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)可得對(duì)角線的長(zhǎng),
（2）由點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于PQ對(duì)稱知△APQ與△A′PQ關(guān)于PQ對(duì)稱，再證∠PA′D=∠A′QC，由AB=4，AP=3PD得PD=1，AP=PA′=3，A′D=2，利用正切函數(shù)的定義即可得答案,
（3）過(guò)點(diǎn)Q作直線MN⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則MN⊥BC，證△APQ∽△CTQ得=，設(shè)QM=h，則QN=4-h，CT=，繼而知S=ah+（4-h），整理得ah2-（4a+S）h+8a=0，根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根得（4a+S）2≥32a2，結(jié)合4a+S＞0知S≥（4 -4）a，最后根據(jù)S=（4-4）a時(shí)可得h=2．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，且AB=4，
∴AB=BC=4，∠BAC=∠ACB=45°，
∴AC===,

（2）如圖1，

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，

∴與關(guān)于對(duì)稱，

∴，，

∵，

，

∴,

∵，，

∴，，

在中，由勾股定理得：，

∴.

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則.

∵，

∴，

∴，

設(shè)，則，

∴，∴，

∴，

∴，

整理得：，

∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根，∴，

∴，

，又，

∴，

∴，

當(dāng)時(shí)，由方程可得 滿足題意，

故當(dāng)時(shí)，與面積之和的最小值為.