Question

【題目】（1）在△ABC中，∠BAC=60°，BC=4，則△ABC面積的最大值是 ．

（2）已知：△ABC，用無刻度的直尺和圓規(guī)求作△DBC，使∠BDC+∠A=180°，且BD=DC．（注：不寫作法，保留作圖痕跡，對圖中涉及到的點(diǎn)用字母進(jìn)行標(biāo)注，作出一個符合題意的三角形即可）

Answer 1

【答案】（1）12；（2）如圖所示見解析.

【解析】

（1）作AB、BC的垂直平分線，它們相交于點(diǎn)O，再以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓得到△ABC的外接圓，利用三角形面積公式得到當(dāng)點(diǎn)A到BC的距離最大時，△ABC面積的最大，此時點(diǎn)A在優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，利用圓周角定理可判斷△A′BC為等邊三角形，然后利用等邊三角形的面積的計算方法可得到△ABC面積的最大值；

（2）BC的垂直平分線交BC弧于D，根據(jù)垂徑定理得到弧BD＝弧CD，根據(jù)圓周角定理得到∠BDC＋∠A＝180°，從而可判斷△DBC滿足條件．

解：（1）作△ABC的外接圓⊙O，

當(dāng)點(diǎn)A到BC的距離最大時，△ABC面積的最大，此時點(diǎn)A在BC的垂直平分線上，

如圖，點(diǎn)A在A′時△ABC的面積最大，

∵∠BA′C＝∠BAC＝60°，

A′B＝A′C，

∴△A′BC為等邊三角形，

∴△ABC面積的最大值＝×（4）2＝12

故答案為12，

（2）如圖，△DBC為所作．