Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的與邊，分別交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

（1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求證：為的中點(diǎn)；

（3）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）與相切，理由見解析；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）連結(jié)、，如圖1，先利用AB是圓的直徑得到，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，然后利用三角形中位線定理可得，而，進(jìn)一步即可證得結(jié)論；

（2）連結(jié)，如圖2，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得，從而DE=DC，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得結(jié)論；

（3）易得，利用余弦的定義，分別在和中計(jì)算出AC與CH的長，則CE即可求出，然后計(jì)算即可得到的長．

解：（1）與相切．理由如下：

連結(jié)、，如圖1，∵為直徑，∴，即，

∵，∴，

而，∴為的中位線，∴，

∵，∴，∴為的切線；

（2）證明：連結(jié)，如圖2，

∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，

∵，∴，∴，∴DE=DC.

∵，∴，即為的中點(diǎn)；

（3）解：如圖2，在中，∵，，∴.

在中，∵，∴，∴，

∴．