Question

如圖，點(diǎn)P（2，2），點(diǎn)A、B分別在x軸正半軸和y軸負(fù)半軸上，A（5，0），∠APB=90°．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖2，點(diǎn)C在y軸正半軸上，作PD⊥PC，且PD=PC，過點(diǎn)P作x軸的平行線交y軸于E，交AD于F，若C（0，m），求PF的長(zhǎng)（用m表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）過P分別作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為M、N，可證明△PMA≌△PNB，可得BN=AM，可求得BO的長(zhǎng)，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在CE上取點(diǎn)H，使∠PHC=∠PFD，可證明△PDF≌△CPH，可得PF=CH，結(jié)合（1）可證明△PHB≌△AFP，可得PF=BH，可得到PF=

1

2

BC，可求得答案．

解答：解：
（1）如圖1，過P分別作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為M、N，

∵P（2，2），A（5，0），
∴PM=PN=ON=OM=2，OA=5，
∴AM=5-2=3，
∵∠APB=90°，
∴∠NPB+∠BPM=∠APM+∠BPM，
∴∠NPB=∠APM，
在△PMA和△PNB中

∠APM=∠BPN PM=PN ∠PMA=∠PNB

∴△PMA≌△PNB（ASA），
∴BN=AM=3，且ON=2，
∴OB=1，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，-1）；
（2）如圖2，在CE上取點(diǎn)H，使∠PHC=∠PFD，

∵PD⊥PC，EF∥AB，
∴∠CPD=∠CEP=90°，
∴∠HCP+∠CPE=∠CPE+∠DPF=90°，
∴∠PCH=∠DPF，
在△PCH和△DPF中

∠PCH=∠DPF ∠PHC=∠DFP PC=PD

∴△PCH≌△DPF（AAS），
∴PF=CH，
∵∠PHC=∠DFP，
∴∠PHB=∠PFA，
∵EF∥AB，
∴∠FPA=∠PAO，
又由（1）可知∠EBP=∠PAO，
∴∠HBP=∠FPA，
且由（1）可知PB=PA，
在△PHB和△FAP中

∠PHB=∠PFA ∠PBH=∠FPA PB=PA

∴△PHB≌△FAP（AAS），
∴PF=BH，
∴PF=

1

2

BC，
且BC=BO+OC=1+m，
∴PF=

1+m

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．在（2）中作出∠PHC=∠PFD，構(gòu)造全等是解題的突破口．