Question

如圖，已知直線l₁∥l₂∥l₃，且l₁，l₂之間的距離為1，l₂，l₃之間的距離為2，點(diǎn)A、C分別在直線l₂，l₁上，
（1）利用直尺和圓規(guī)作出以AC為底的等腰△ABC，使得點(diǎn)B落在直線l₃上（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）若（1）中得到的△ABC為等腰直角三角形，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),平行線之間的距離,等腰直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）作出線段AC的垂直平分線，使得點(diǎn)B落在直線l₃上，連結(jié)AB，BC，△ABC即為所求；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥l₃于D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥l₃于E，根據(jù)同角的余角相等求出∠ABE=∠BCD，然后利用“角角邊”證明△ABE和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=BD，再利用勾股定理列式求出BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的

2

倍解答．

解答：解：（1）如圖所示：△ABC即為所求．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥l₃于D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥l₃于E，

則∠BCD+∠CBD=90°，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABE+∠CBD=180°-90°=90°，
∴∠ABE=∠BCD，
在△ABE和△BCD中，

∠AEB=∠BDC ∠ABE=∠BCD AB=BC

，
∴△ABE≌△BCD（AAS），
∴AE=BD，
∵l₁，l₂之間的距離為1，l₂，l₃之間的距離為2，
∴BD=2，CD=1+2=3，
在Rt△BCD中，BC=

BD2+CD2

=

22+32

=

13

，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=

2

BC=

26

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的畫(huà)法，平行線間的距離，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．