Question

【題目】已知：拋物線C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸交于點（﹣1，0），（2，0）．

（1）b、c分別用含a的式子表示為：b＝　 　，c＝　 　；

（2）將拋物線C1向左平移個單位，得到拋物線C2．直線y＝kx+a（k＞0）與C2交于A，B兩點（A在B左側）．P是拋物線C2上一點，且在直線AB下方．作PE∥y軸交線段AB于E，過A、B兩點分別作PE的垂線AM、BN，垂足分別為M，N．

①當P點在y軸上時，試說明：AMBN為定值．

②已知當點P（a，n）時，恰有S△ABM＝S△ABN，求當1≤a≤3時，k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）﹣a，﹣2a；（2）①見解析；②2≤k≤18．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣2）＝ax2﹣ax﹣2a即可求解；

（2）①由（1）知，b＝﹣a，c＝﹣2a，拋物線C1的表達式為：y＝ax2﹣ax﹣2a＝a（x﹣）2﹣，則拋物線C2的表達式為：y＝ax2﹣，聯(lián)立直線與拋物線C2的表達式并整理得：ax2﹣kx﹣＝0，即可證明AMBN為定值；

②S△ABM＝S△ABN，則AM＝BN，a﹣x1＝x2﹣a，得到x1+x2＝2a，x1+x2＝，即可求出k的取值范圍.

解：根據(jù)拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣2）＝ax2﹣ax﹣2a，

故b＝﹣a，c＝﹣2a，

故答案為﹣a，﹣2a；

（2）設：點A、B的坐標分別為：（x1，y1）、（x2，y2），

①由（1）知，b＝﹣a，c＝﹣2a，

拋物線C1的表達式為：y＝ax2﹣ax﹣2a＝a（x﹣）2﹣，

則拋物線C2的表達式為：y＝ax2﹣，

聯(lián)立直線與拋物線C2的表達式并整理得：ax2﹣kx﹣＝0，

則x1x2＝＝AMBN，

故AMBN為定值；

②∵S△ABM＝S△ABN，

∴AM＝BN，a﹣x1＝x2﹣a，則x1+x2＝2a，

∵x1+x2＝，

∴＝2a，

∴k＝2a2，

∵1≤a≤3，

∴2≤k≤18．