Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB′C′D′，其中點(diǎn)C的運(yùn)動路徑為

CC′

，則圖中陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),扇形面積的計(jì)算,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)角為30°，連接CD′和BC′，可得A、D′、C及A、B、C′分別共線，求出扇形面積，再根據(jù)AAS證得兩個(gè)小三角形全等，求得其面積，最后根據(jù)扇形ACC′的面積-兩個(gè)小的三角形面積即可．

解答：解：連接CD′和BC′，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∵∠C′AB′=30°，
∴A、D′、C及A、B、C′分別共線．
∴AC=

3

∴扇形ACC′的面積為：

30°π( 3 )2

360°

=

π

4

，
∵AC=AC′，AD′=AB
∴在△OCD′和△OC'B中，

CD′=BC′ ∠ACO=∠AC′D′ ∠COD′=∠C′OB

∴△OCD′≌△OC′B（AAS）．
∴OB=OD′，CO=C′O
∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°
∴∠COD′=90°
∵CD′=AC-AD′=

3

-1
OB+C′O=1
∴在Rt△BOC′中，BO²+（1-BO）²=（

3

-1）²
解得BO=

3

2

-

1

2

，C′O=

3

2

-

3

2

，
∴S_△OC′B=

1

2

•BO•C′O=

3

2

-

3

4

∴圖中陰影部分的面積為：S_扇形ACC′-2S_△OC′B=

π

4

+

3

2

-

3

．
故答案為：

π

4

+

3

2

-

3

．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，扇形的面積公式，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵．