【題目】【問題探究】
已知:如圖①所示,∠MPN的頂點為P,⊙O的圓心O從頂點P出發(fā),沿著PN方向平移.

(1)如圖②所示,當⊙O分別與射線PM,PN相交于A、B、C、D四個點,連接AC、BD,可以證得△PAC∽△ , 從而可以得到:PAP B=P CP D.
(2)如圖③所示,當⊙O與射線PM相切于點A,與射線PN相交于C、D兩個點.求證:PA2=PCPD.

(3)【簡單應用】
如圖④所示,(2)中條件不變,經過點P的另一條射線與⊙O相交于E、F兩點.利用上述(1),(2)兩問的結論,直接寫出線段PA與PE、PF之間的數(shù)量關系;當PA=4 ,EF=2,則PE=

(4)【拓展延伸】如圖⑤所示,在以O為圓心的兩個同心圓中,A、B是大⊙O上的任意兩點,經過A、B 兩點作線段,分別交小⊙O于C、E、D、F四個點.求證:ACAE=BDBF.(友情提醒:可直接運用本題上面所得到的相關結論)

【答案】
(1)△PDB
(2)證明:連接AC、AD,如圖③所示:

∵⊙O與射線PM相切于點A,與射線PN相交于C、D兩個點,

∴∠PAC=∠PDA,

又∵∠P=∠P,

∴△PAC∽△PDA,

∴PA:PD=PC:PA,

∴PA2=PCPD


(3)PA2=PE?PF,6
(4)證明:過A作⊙O的切線AM,M為切點,過B作⊙O的切線BN,N為切點,連接OA、OM、OB、ON,則AM⊥OM,BN⊥ON,如圖⑤所示:

由(3)得:AM2=ACAE,BN2=BDBF.

在Rt△AOM中,AM2=OA2﹣OM2

在Rt△BON中,BN2=OB2﹣ON2

又∵OM=ON,OA=OB,

∴AM2=BN2,

∴ACAE=BDBF.


【解析】(1)解:由圓內接四邊形的性質得:∠PAC=∠PDB,

又∵∠P=∠P,

∴△PAC∽△PDB,

∴PA:PD=PC:PB,

∴PAP B=P CP D.

所以答案是:△PDB;(3)解:由(2)得:PA2=PEPF.

∵PA=4 ,EF=2,

∴PEPF=(4 2=48,

即PE(PE+2)=48,

解得:PE=6,或PE=﹣8(舍去),

∴PE=6,

所以答案是:PA2=PEPF,6;

練習冊系列答案
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實驗次數(shù)n

200

300

400

500

600

700

800

1000

摸到紅球

次數(shù)m

151

221

289

358

429

497

571

702

摸到紅球

頻率

0.75

0.74

0.72

0.72

0.72

0.71

a

b

1)表格中a=_____;(精確到0.01

2)估計從袋子中摸出一個球恰好是紅球的概率約為______;(精確到0.1

3)如果袋子中有7個紅球,那么袋子中除了紅球,估計還有幾個其他顏色的球?

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