Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3經過A（﹣1，0）B（4，0）兩點，與y軸交于點C

（1）求拋物線解析式；
（2）點N是x軸下方拋物線上的一點，連接AN，若tan∠BAN=2，求點N的縱坐標；
（3）點D是點C關于拋物線對稱軸的對稱點，連接AD，在x軸上是否存在E，使∠AED=∠CAD？如果存在，請直接寫出點E坐標，如果不存在，請說明理由；
（4）連接AC、BC，△ABC的中線BM交y軸于點H，過點A作AG⊥BC，垂足為G，點F是線段BH上的一個動點（不與B、H重合），點F沿線段BH從點B向H移動，移動后的點記作點F′，連接F′C、F′A，△F′AC的F′C、F′A兩邊上的高交于點P，連接AP，CP，△F′AC與△PAC的面積分別記為S1 ， S2 ， S1和S2的乘積記為m，在點F的移動過程中，探究m的值變化情況，若變化，請直接寫出m的變化范圍，若不變，直接寫出這個m值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得： ，

解得： ．

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣3．

（2）

如圖1所示：過點N作NM⊥x軸點M，則∠AMN=90°．

設點N的坐標為（x， x2﹣ x﹣3），則AM=x+1，MN=﹣ x2+ x+3．

∵tan∠BAN=2，

∴ =2，解得：x= 或x=﹣1（舍去）．

∴MN=2AM=3×（ +1）= ，

∴點N的坐標為（ ，﹣ ）．

（3）

如圖2所示：連接CD，過點C作CG⊥AD，垂足為G，過點D作DF⊥x軸，垂足為F．

∵點C與點D關于對稱軸直線x= 對稱，

∴D（3，﹣3）．

∴DF=3，CD=3．

依據(jù)兩點間的距離公式可知AD=5，AC= ．

∵S△ACD= CDOC= ADCG，

∴CG= ．

∴AG= = ．

∴tan∠CAD= ．

∵∠AED=∠CAD，

∴tan∠AED= = = ，即 = = ，解得EF=EF′= ．

∴E（﹣ ，0），E′（ ，0）．

∴點E的坐標為（﹣ ，0）或（ ，0）．

（4）

如圖3所示：

∵A（﹣1，0），（4，0），C（0，﹣3），

∴AB=BC=5，AC= ．

∵MB為△ABC的中線，

∴MB⊥AC，MC= ．

∴MB為AC的垂直平分線，

∴∠AF′M=∠CF′M．

∵點P為AF′與CF′的高線的交點，

∴∠CAQ+∠ACQ=90°，∠CAQ+∠MF′A=90°，

∴∠ACQ=∠AF′M．

∴∠ACQ=∠CF′M．

又∵∠CMP=∠CMF′，

∴△CMP∽△F′MC．

∴ = ，即MPMF′= ．

∴m=S1S2= ACPM ACMF′= ×（ ）2× = ．

【解析】（1）將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得到關于a、b的方程組，然后求得a、b的值即可；（2）過點N作NM⊥x軸點M，則∠AMN=90°．設點N的坐標為（x， x2﹣ x﹣3），則AM=x+1，MN=﹣ x2+ x+3，然后依據(jù)tan∠BAN=2，列方程求解即可；（3）連接CD，過點C作CG⊥AD，垂足為G，過點D作DF⊥x軸，垂足為F．先求得AC，AD的長，依據(jù)S△ACD= CDOC= ADCG，可求得CG的長，然后依據(jù)勾股定理可求得AG的長，從而可得到tan∠AED= = = ，從而可求得EF和E′F的長，然后求得點E和點E′的坐標即可；（4）先證明AB=BC，由等腰三角形的性質可知MB為AC的垂直平分線，然后再證明△CMP∽△F′MC，依據(jù)相似三角形的性質可求得MPMF′= ，最后由m=S1S2= ACPM ACMF′求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解銳角三角函數(shù)的定義的相關知識，掌握銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．