Question

【題目】?jī)蓧K等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放，其中∠ACB=∠DCE=90，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)．

（1）如圖1，若點(diǎn)D．E分別在AC、BC的延長(zhǎng)線上，通過觀察和測(cè)量，猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為和位置關(guān)系為；
（2）將圖1中三角板△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針（逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0°＜a＜180°）以圖2和圖3的情況為例，其中圖2中旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A、C、E在一條直線上時(shí)，其余條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立，若不成立，請(qǐng)說明理由；若成立，請(qǐng)從圖2和圖3中選其一證明
（3）在△DEC繞點(diǎn)C按圖3方式旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)直線FH經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，若AC=2，CD= ，請(qǐng)直接寫出FG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）FG=FH；FG⊥FH
（2）

①答：成立，

證明：如圖2中，

∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，

∴△ACD≌△BCE

∴AD=BE，

由（1）知：FH= AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G= BE，F(xiàn)G∥BE，

∴FH=FG，F(xiàn)H⊥FG，

∴（1）中的猜想還成立．

②答：成立，結(jié)論是FH=FG，F(xiàn)H⊥FG．

如圖3中，連接AD，BE，兩線交于Z，AD交BC于X，

同（1）可證

∴FH= AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G= BE，F(xiàn)G∥BE，

∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，

∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中

，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，

∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，

∴∠DXB+∠EBC=90°，

∴∠EZA=180°﹣90°=90°，

即AD⊥BE，

∵FH∥AD，F(xiàn)G∥BE，

∴FH⊥FG，

即FH=FG，F(xiàn)H⊥FG，

結(jié)論是FH=FG，F(xiàn)H⊥FG．

（3）

如圖4中，

由題意，易知CF⊥DE，△CFD，△CFE都是等腰直角三角形，

∵CD= ，

∴CF=DF=1，∵BC=AC=2，

∴BF= = ，

∴BD=BF﹣DF= ﹣1，

∵DG=GB，

∴DG= （ ﹣1），

∴FG=DF+DG= ．

【解析】（1）解：如圖1中，

∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，
∴BE=AD，
∵F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)，
∴FH= AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G= BE，F(xiàn)G∥BE，
∴FH=FG，
∵AD⊥BE，
∴FH⊥FG，
所以答案是：FG=FH，F(xiàn)G⊥FH．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°)，還要掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．