Question

如圖，將矩形ABCD沿MN折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合．
（1）求證：DM=DN；
（2）當(dāng)AB和AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，△DMN是等邊三角形？并說明你的理由．

Answer 1

（1）證明：由題意知∠1=∠2，
又AB∥CD，得∠1=∠3，
則∠2=∠3．
故DM=DN；

（2）解：當(dāng)AB=AD時(shí)，△DMN是等邊三角形．
證明：連接BD．
∵∠A=90°，AB=AD，
∴tan∠ABD==，
∴∠ABD=30°．
∵BM=MD，
∴∠ABD=∠MDB=30°，
∴∠BMD=120°．
∴∠1=∠2=60°．
又DM=DN，
∴△DMN是等邊三角形．
分析：（1）根據(jù)矩形對(duì)邊平行得∠1=∠3，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠1=∠2，所以∠2=∠3，得DM=DN；
（2）假設(shè)△DMN是等邊三角形，則∠ADM=30°．有MD=2AM，AD=AM，AB=3AM，得AB=AD．
點(diǎn)評(píng)：此題通過折疊考查了三角形的有關(guān)知識(shí)，難度中等．