Question

【題目】已知，點C在以AB為直徑的半圓上，∠CAB的平分線AD交BC于點D，⊙O經(jīng)過A、D兩點，且圓心O在AB上．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）若 ， ，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD．

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∵AD平分∠CAB，

∴∠OAD=∠CAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠ACB=90°，

∴BD是⊙O的切線．

（2）解：∵ ，

∴AB=4AC，

∵BC2=AB2﹣AC2，

∴15AC2=80，

∴AC= ，

∴AB=4 ．

設(shè)⊙O的半徑為r，

∵OD∥AC，

∴△BOD∽△BAC，

∴

∴ ，解得：r=

∴πr2=π（ ）2= ，

∴⊙O的面積為 ．

【解析】（1）連接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ADO，推出OD∥AC，推出OD⊥CB，根據(jù)切線判定推出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出AC= ，AB=4 ．設(shè)⊙O的半徑為r，證△BOD∽△BAC，得出 ，代入求出r即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對切線的判定定理的理解，了解切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．