Question

如圖，有一張矩形紙片ABCD，已知AB=2，BC=4，若點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），且0＜AE≤2，沿BE將△ABE翻折后，點(diǎn)A落到點(diǎn)P處，連接PC．有下列說(shuō)法：
①△ABE與△PBE關(guān)于直線BE對(duì)稱；
②線段PC的長(zhǎng)有可能小于2；
③四邊形ABPE有可能為正方形；
④當(dāng)△PCD是等腰三角形時(shí)，PC=2或

5

．
其中說(shuō)法正確的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)，以及圓的定義即可作出判斷①②③；
以P、C、D為頂點(diǎn)的等腰三角形有兩種情況，點(diǎn)P與BC的中點(diǎn)H重合時(shí)和點(diǎn)P在CD的中垂線上兩種情況進(jìn)行討論，設(shè)DC的中點(diǎn)為K，過(guò)P作PF⊥BC于F，利用勾股定理即可求得PC的長(zhǎng)．

解答：解：①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得△ABE與△PBE關(guān)于直線BE對(duì)稱，則①正確；
②當(dāng)AE=AB=2時(shí)，PC的長(zhǎng)度最小，此時(shí)P在BC上，則PC=2，四邊形ABPE是正方形，故②錯(cuò)誤，③正確．
④以P、C、D為頂點(diǎn)的等腰三角形有兩種情況．
第1種情況：如答圖1，點(diǎn)P與BC的中點(diǎn)H重合時(shí)：CH=CD．
即PC=CH=2；
第2種情況：點(diǎn)P在CD的中垂線上時(shí)，PD=PC，設(shè)DC的中點(diǎn)為K，過(guò)P作PF⊥BC于F，
則四邊形PFCK是矩形，PF=CK=1，PB=2．
∴BF=

3

，
∴FC=4-

3

，
PC²=（4-

3

）²+1²，
∴PC=

20-8 3

，
故④錯(cuò)誤．
故答案是：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及折疊的性質(zhì)，正確討論，求得當(dāng)△BCP是等腰三角形時(shí)PC的長(zhǎng)是關(guān)鍵．