Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，AB=2，AD和BE是圓O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，過圓上一點(diǎn)C作⊙O的切線CF，分別交AD、BE于點(diǎn)M、N，連接AC、CB，若∠ABC=30°，則AM=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：連接OM，OC，由OB=OC，且∠ABC的度數(shù)求出∠BCO的度數(shù)，利用外角性質(zhì)求出∠AOC度數(shù)，利用切線長定理得到MA=AC，利用HL得到三角形AOM與三角形COM全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到OM為角平分線，求出∠AOM為30°，在直角三角形AOM中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出AM的長．

解答：解：連接OM，OC，
∵OB=OC，且∠ABC=30°，
∴∠BCO=∠ABC=30°，
∵∠AOC為△BOC的外角，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵M(jìn)A，MC分別為圓O的切線，
∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，
在Rt△AOM和Rt△COM中，

MA=MC OM=OM

，
∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），
∴∠AOM=∠COM=

1

2

∠AOC=30°，
在Rt△AOM中，OA=

1

2

AB=1，∠AOM=30°，
∴tan30°=

AM

OA

，即

3

3

=

AM

1

，
解得：AM=

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，外角性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．