Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D點(diǎn)，O是AB上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．
（1）用尺規(guī)補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）求證：BC與⊙O相切；
（3）當(dāng)AD= ，∠CAD=30°時(shí)，求劣弧AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，

（2）解：證明：連結(jié)OD，則OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠OAD=∠CAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODC=90°，

即BC⊥OD，

∴BC與⊙O相切

（3）解：如圖，連接DE，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∵∠OAD=∠ODA=30°，

∴∠AOD=120°，

在Rt△ADE中，AE= =2，

∴⊙O的半徑=1，

∴劣弧AD的長(zhǎng)= = π

【解析】（1）作AD的垂直平分線(xiàn)交AC于O，以AO為半徑畫(huà)圓O分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，則⊙O即為所求；（2）連結(jié)OD，得到OD=OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAD=∠ODA，等量代換得到∠ODA=∠CAD，根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理得到OD∥AC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）連接DE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADE=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠AOD=120°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AE=2，根據(jù)弧長(zhǎng)個(gè)公式即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)計(jì)算公式，掌握若設(shè)⊙O半徑為R，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l，則l=nπr/180;注意：在應(yīng)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的即可以解答此題．