Question

【題目】圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)在B點(diǎn)的拋物線交x軸于點(diǎn)A、D，交y軸于點(diǎn)E，連結(jié)AB、AE、BE．已知tan∠CBE= ，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：CB是△ABE外接圓的切線；
（3）試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3）．

∵將點(diǎn)E（0，3）代入拋物線的解析式得：﹣3a=3，

∴a=﹣1．

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴B（1，4）

（2）

解：如圖1所示：過點(diǎn)B作BF⊥y軸，垂足為F．

∵A（3，0），E（0，3），

∴OE=OA=3．

∴∠OEA=45°．

∵E（0，3），B（1，4），

∴EF=BF．

∴∠FEB=45°．

∴∠BEA=90°．

∴AB為△ABE的外接圓的直徑．

∵∠FEB=∠OEA=45°，∠EOA=∠BFE，

∴△BFE∽△AOE．

∴tan∠EAB= = ．

∵tan∠CBE= ，

∴∠CBE=∠EAB．

∵∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠CBE+∠EBA=90°，即∠CBA=90°．

∴CB是△ABE的外接圓的切線

（3）

解：如圖2所示：

∵ 且∠DOE=∠BEA=90°，

∴△EOD∽△AEB．

∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，△EPD∽△AEB．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）．

過點(diǎn)D作DP′⊥DE，交y軸與點(diǎn)P′．

∵∠P′ED=∠DEO，∠DOE=∠EDP′，

∴△EDP′∽△EOD．

又∵△EOD∽△AEB，

∴△EDP′∽△AEB．

∵∠ODP′+∠OP′D=90°，∠DEP′+∠OP′D=90°，

∴∠ODP′=∠DEP′．

∴ = ，即 ．

∴OP′= ．

∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（0，﹣ ）．

過點(diǎn)E作EP″⊥DE，交x軸與點(diǎn)P″．

∵∠EDP″=∠EDO，∠EOD=∠DEP″，

∴△EDO∽△P″DE．

∵又∵△EOD∽△AEB，

∴△EDP″∽△AEB．

∴∠EP″O=∠BAE．

∴tan∠EP″O= = ，即 = ．

∴OP″=9．

∴P″（9，0）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）或（0，﹣ ）或（9，0）

【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），將點(diǎn)E（0，3）代入拋物線的解析式求得a的值，從而可得到拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)B作BF⊥y軸，垂足為F．先依據(jù)配方法可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后依據(jù)點(diǎn)A、B、E三點(diǎn)的坐標(biāo)可知△BFE和△EAO為等腰直角三角形，從而可證明△BAE為直角三角形，接下來證明△BFE∽△EOA，由相似三角形的性質(zhì)可證明 = ，從而可得到∠CBE=∠EAB，于是可證明∠CBA=90°，故此CB是△ABE的外接圓的切線；（3）過點(diǎn)D作DP′⊥DE，交y軸與點(diǎn)P′，過點(diǎn)E作EP″⊥DE，交x軸與點(diǎn)P″．然后證明△DEO、△P′DO、△EP″O均與△BAE相似，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別可求得DO、OP′、OP″的長度，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．