【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于點D,E是AC的中點,OE交CD于點F.
(1)若∠BCD=36°,BC=10,求BD的長;
(2)判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)求證:2CE2=ABEF.
【答案】
(1)解:∵BC是直徑,
∴∠BDC=90°,
在Rt△BCD中,∵BC=10,∠BCD=36°,
∴BD=BCsin36°=10sin36°≈5.9.
(2)解:連接OD.
∵AE=EC,OB=OC,
∴OE∥AB,
∵CD⊥AB,
∴OE⊥CD,
∵OD=OC,
∴∠DOE=∠COE,
在△EOD和△EOC中,
,
∴△EOD≌△EOC,
∴∠EDO=∠ECO=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切線.
(3)解:∵OE⊥CD,
∴DF=CF,∵AE=EC,
∴AD=2EF,
∵∠CAD=∠CAB,∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ACD∽△ABC,
∴AC2=ADAB,
∵AC=2CE,
∴4CE2=2EFAB,
∴2CE2=EFAB.
【解析】(1)在直角三角形中,由斜邊求對邊,用正弦;(2)要證DE是切線,連結(jié)OE,證∠EDO是直角,可證△EOD≌△EOC,得出∠EDO=∠ECO=90°;(3)要證2CE2=ABEF,可從入手,CE2=,所以2CE2=2
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與圓的三種位置關(guān)系的相關(guān)知識,掌握直線與圓有三種位置關(guān)系:無公共點為相離;有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線;圓與直線有唯一公共點為相切,這條直線叫做圓的切線,這個唯一的公共點叫做切點,以及對相似三角形的判定與性質(zhì)的理解,了解相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD是菱形,DF⊥AB于點F,BE⊥CD于點E.
(1)求證:AF=CE;
(2)若DE=2,BE=4,求sin∠DAF的值.
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【題目】如圖,在同一平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y= 與一次函數(shù)y=kx﹣1(k為常數(shù),且k>0)的圖象可能是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點A點B已知滿足.
(1)點A的坐標(biāo)為_________,點B的坐標(biāo)為__________;
(2)如圖1,點E為線段OB上一點,連接AE,過A作AF⊥AE,且AF=AE,連接BF交軸于點D,若點D(-1,0),求點E的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,如圖2,過E作EH⊥OB交AB于H,點M是射線EH上一點(點M不在線段EH上),連接MO,作∠MON=45°,ON交線段BA的延長線于點N,連接MN,探究線段MN與OM的關(guān)系,并說明理由。
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【題目】乘法公式的探究及應(yīng)用.
數(shù)學(xué)活動課上,老師準(zhǔn)備了若干個如圖1的三種紙片,A種紙片邊長為a的正方形,B種紙片是邊長為b的正方形,C種紙片長為a、寬為b的長方形,并用A種紙片一張,B種紙片一張,C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.
(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積.方法1:______;方法2:_______.
(2)觀察圖2,請你寫出下列三個代數(shù)式:(a+b)2,a2+b2,ab之間的等量關(guān)系._______;
(3)類似的,請你用圖1中的三種紙片拼一個使長方形面積為:3a2+7ab+2b2,并對3a2+7ab+2b2因式分解為_______.
(4)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:
①已知:a+b=5,a2+b2=11,求ab的值;
②已知(x﹣2016)2+(x﹣2018)2=34,求(x﹣2017)2的值.
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【題目】甲、乙兩種商品原來的單價和為100元.因市場變化,甲商品降價10%,乙商品提價40%,調(diào)價后兩種商品的單價和比原來的單價和提高了20%.甲、乙兩種商品原來的單價各是多少?
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【題目】在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1個單位長度,△ABC的三個頂點的位置如圖所示.現(xiàn)將△ABC沿著點A到點D的方向平移,使點A變換為點D,點E、F分別是B、C的對應(yīng)點.
(1)畫出△ABC中AB邊上的高CH;(提醒:別忘了標(biāo)注字母);
(2)請畫出平移后的△DEF;
(3)平移后,線段AB掃過的部分所組成的封閉圖形的面積是___________.
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【題目】某汽車制造廠開發(fā)了一款新式電動汽車,計劃一年生產(chǎn)安裝240輛。由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成新式電動汽車的安裝,工廠決定招聘一些新工人:他們經(jīng)過培訓(xùn)后上崗,也能獨立進行電動汽車的安裝。生產(chǎn)開始后,調(diào)研部門發(fā)現(xiàn):1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動汽車;2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動汽車。
(1)每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車?
(2)如果工廠招聘新工人若干名(新工人人數(shù)少于10人)和抽調(diào)的熟練工合作,剛好能完成一年的安裝任務(wù),那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案?
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【題目】某市電力部門對一般照明用電實行“階梯電價”收費,具體收費標(biāo)準(zhǔn)如下:
第一檔:月用電量不超過200度的部分的電價為每度元.
第二檔:月用電量超過200度但不超過400度部分的電價為每度元.
第三檔:月用電量超過400度的部分的電價為每度元.
已知小明家去年5月份的用電量為215度,則小明家5月份應(yīng)交電費______元
若去年6月份小明家用電的平均電價為元,求小明家去年6月份的用電量.
已知小明家去年7、8月份的用電量共700度月份的用電量少于8月份的用電量,兩個月的總電價是384元,求小明家7、8月的用電量分別是多少?
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