【題目】如圖,A、B、C三點在同一直線上,分別以AB、BC為邊,在直線AC的同側作等邊ABD和等邊BCE,連接AEBD于點M,連接CDBE于點N,連接MNBMN

1)求證:AECD;

2)試判斷BMN的形狀,并說明理由;

3)設CD、AE相交于點G,求∠AGC的度數(shù).

【答案】1)見解析;(2)△BMN為等邊三角形,理由見解析;(3)∠AGC120°.

【解析】

1)由△ABD與△BCE都為等邊三角形,利用等邊三角形的性質得到兩條邊對應相等,兩個角相等都為60°,利用SAS即可得到△ABE≌△DBC即可解決問題;2)△BMN為等邊三角形,理由為:由第一問△ABE≌△DBC,利用全等三角形的對應角相等得到一對角相等,再由∠ABD=EBC=60°,利用平角的定義得到∠MBE=NBC=60°,再由EB=CB,利用ASA可得出△EMB≌△CNB,利用全等三角形的對應邊相等得到MB=NB,再由∠MBE=60°,利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出△BMN為等邊三角形;3)利用全等三角形的性質,證明∠DGM=ABM=60°即可.

1)證明:∵等邊△ABD和等邊△BCE,

ABDB,BEBC,∠ABD=∠EBC60°,

∴∠ABE=∠DBC120°,

在△ABE和△DBC中, ,

∴△ABE≌△DBCSAS).

AECD

2)解:△BMN為等邊三角形,理由為:

∵△ABE≌△DBC,

∴∠AEB=∠DCB,

又∠ABD=∠EBC60°,

∴∠MBE180°﹣60°﹣60°=60°,

即∠MBE=∠NBC60°,

在△MBE和△NBC中, ,

∴△MBE≌△NBCASA),

BMBN,∠MBE60°,

則△BMN為等邊三角形.

3)解:∵△ABE≌△DBC,

∴∠EAB=∠BDC

∵∠AMB=∠DMG,

∴∠ABM=∠DGM,

∵△ABD是等邊三角形,

∴∠ABM60°,

∴∠DGM=∠ABM60°,

∴∠AGC120°.

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