Question

【題目】如圖，A、B、C三點在同一直線上，分別以AB、BC為邊，在直線AC的同側作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE交BD于點M，連接CD交BE于點N，連接MN得△BMN．

（1）求證：AE＝CD；

（2）試判斷△BMN的形狀，并說明理由；

（3）設CD、AE相交于點G，求∠AGC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△BMN為等邊三角形，理由見解析；（3）∠AGC＝120°．

【解析】

（1）由△ABD與△BCE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩條邊對應相等，兩個角相等都為60°，利用SAS即可得到△ABE≌△DBC即可解決問題;（2）△BMN為等邊三角形，理由為：由第一問△ABE≌△DBC，利用全等三角形的對應角相等得到一對角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定義得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA可得出△EMB≌△CNB，利用全等三角形的對應邊相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出△BMN為等邊三角形;（3）利用全等三角形的性質，證明∠DGM=∠ABM=60°即可．

（1）證明：∵等邊△ABD和等邊△BCE，

∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，

∴∠ABE＝∠DBC＝120°，

在△ABE和△DBC中， ，

∴△ABE≌△DBC（SAS）．

∴AE＝CD．

（2）解：△BMN為等邊三角形，理由為：

∵△ABE≌△DBC，

∴∠AEB＝∠DCB，

又∠ABD＝∠EBC＝60°，

∴∠MBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

即∠MBE＝∠NBC＝60°，

在△MBE和△NBC中， ，

∴△MBE≌△NBC（ASA），

∴BM＝BN，∠MBE＝60°，

則△BMN為等邊三角形．

（3）解：∵△ABE≌△DBC，

∴∠EAB＝∠BDC，

∵∠AMB＝∠DMG，

∴∠ABM＝∠DGM，

∵△ABD是等邊三角形，

∴∠ABM＝60°，

∴∠DGM＝∠ABM＝60°，

∴∠AGC＝120°．