【題目】如圖,拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A(-4,-4),B(0,4)兩點(diǎn),直線AC:y=-x-6交y軸與點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)G.
(1)求拋物線y=-x2+bx+c的表達(dá)式;
(2)連接GB、EO,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)①在y軸上存在一點(diǎn)H,連接EH、HF,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),以A、E、F、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?求出此時(shí)點(diǎn)E、H的坐標(biāo);
②在①的前提下,以點(diǎn)E為圓心,EH長(zhǎng)為半徑作圓,點(diǎn)M為⊙E上一動(dòng)點(diǎn),求AM+CM的最小值.
【答案】(1)y=-x2-2x+4;(2)G(-2,4);(3)①H(0,-1);②
【解析】分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;
(2)先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,進(jìn)而利用平行四邊形的對(duì)邊相等建立方程求解即可;
(3)①先判斷出要以點(diǎn)A,E,F(xiàn),H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,只有EF為對(duì)角線,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程即可;
②先取EG的中點(diǎn)P進(jìn)而判斷出△PEM∽△MEA即可得出PM=AM,連接CP交圓E于M,再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論.
詳解:(1)(1)∵點(diǎn)A(-4,-4),B(0,4)在拋物線y=-x2+bx+c上,
∴,
∴,
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+4;
(2)設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b
∵直線AB過點(diǎn)A(-4,-4),B(0,4),
∴,解得,
∴y=2x+4
設(shè)E(m,2m+4),則G(m,-m2-2m+4)
∵四邊形GEOB是平行四邊形,
∴GE=OB=4,
∴-m2-2m+4-2m-4=4,解得m=-2
∴G(-2,4)
(3)①設(shè)E(m,2m+4),則F(m,-m-6)
過A作AN⊥EG,過H作HQ⊥EG
四邊形AFHE是矩形,∴△PFN≌△HEQ,∴AN=QH,∴m+4=-m,解得m=-2,E(-2,0)
EQ=FN=-4+m+6=1
∴H(0,-1)
②由題意可得,E(-2,0),H(0,-1),∴EH=,即⊙E的半徑為,
∵M點(diǎn)在⊙E上,∴EM=
∵A(-4,-4),E(-2,0),∴AE=2
在AE上截取EP=EM,則EP=,連接PM,
在ΔEPM與ΔEMA中,∵====,∠PEM=∠MEA,∴ΔEPM∽ΔEMA∴PM=AM
∴線段PC的長(zhǎng)即為AM+CM的最小值
由EP=EM=AE=×2=,AP=AE-PE= , AC=2 ∴PC=
即AM+CM的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次函數(shù)y1=kx+b與y2=x+a的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①k<0;②a>0;③當(dāng)x<3時(shí),y1<y2;④當(dāng)y1>0且y2>0時(shí),﹣a<x<4.其中正確的個(gè)數(shù)是( 。
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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【題目】如圖,若要建一個(gè)長(zhǎng)方形雞場(chǎng),雞場(chǎng)的一邊靠墻,墻對(duì)面有一個(gè)2米寬的門,另三邊用竹籬笆圍成,籬笆總長(zhǎng)33米,圍成長(zhǎng)方形的雞場(chǎng)除門之外四周不能有空隙.求:
(1)若墻長(zhǎng)為18米,要圍成雞場(chǎng)的面積為150平方米,則雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少米?
(2)圍成雞場(chǎng)的面積可能達(dá)到200平方米嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB分別在x軸和y軸上,OA=3,OB=4.把△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到△ADC.邊OB上的一點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′,當(dāng)AM′+DM取得最小值時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為( )
A. (0, ) B. (0,) C. (0,) D. (0,3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),我們把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2兩點(diǎn)間的直角距離,記作d(P1,P2).
(1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足d(O,P)=1,請(qǐng)寫出x與y之間滿足的關(guān)系式,并在所給的直角坐標(biāo)系中畫出所有符合條件的點(diǎn)P所組成的圖形;
(2)設(shè)P0(x0,y0)是一定點(diǎn),Q(x,y)是直線y=ax+b上的動(dòng)點(diǎn),我們把d(P0,Q)的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離.試求點(diǎn)M(2,1)到直線y=x+2的直角距離.
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【題目】如圖,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn),M為EF的中點(diǎn),AM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)N,連接DM,下列結(jié)論:①AE=AF;②DF=DN;③AN=BF;④EN⊥NC;⑤AE=NC,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在等腰△ABC中,AB=AC=,BC=4,點(diǎn)D從A出發(fā)以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)以每秒4個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),在DE的右側(cè)作∠DEF=∠B,交直線AC于點(diǎn)F,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,則當(dāng)△ADF是一個(gè)以AD為腰的等腰三角形時(shí),t的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A、B、C三點(diǎn)在同一直線上,分別以AB、BC為邊,在直線AC的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE,連接AE交BD于點(diǎn)M,連接CD交BE于點(diǎn)N,連接MN得△BMN.
(1)求證:AE=CD;
(2)試判斷△BMN的形狀,并說明理由;
(3)設(shè)CD、AE相交于點(diǎn)G,求∠AGC的度數(shù).
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【題目】有甲乙兩名采購員去同一家飼料公司分別購買兩次飼料,兩次購買飼料價(jià)格分別為m元/千克和n元/千克,且m≠n,兩名采購員的采購方式也不同,其中甲每次購買1000千克,乙每次用去800元,而不管購買多少飼料.
(1)甲、乙所購飼料的平均單價(jià)各是多少?(用字母m、n表示)
(2)誰的購貨方式更合算?
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