【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=5,點D為線段AC上一動點,將線段BD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點B的對應(yīng)點為E,連接AE,則AE長的最小值為_____.
【答案】
【解析】
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BD=DE,∠C=90°,則容易想到構(gòu)造一個直角三角形與Rt△BCD全等,即過E點作EH⊥AD于點H,設(shè)CD=x,則可用x表示AE的長,從而判斷什么時候AE取得最小值.
設(shè)CD=x,則AD=5﹣x,
過點E作EH⊥AD于點H,如圖:
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BD=DE,
∵∠ADE+∠BDC=90°,∠BDC+∠CBD=90°,
∴∠ADE=∠CBD,
又∵∠EHD=∠C,
∴△BCD≌△DHE,
∴EH=CD=x,DH=BC=3.
∵AD=5﹣x,
∴AH=AD﹣DH=5﹣x﹣3=2﹣x,
∵在Rt△AEH中,AE2=AH2+EH2=(2﹣x)2+x2=2x2+4x+4=2(x﹣1)2+2,
所以當(dāng)x=1時,AE2取得最小值2,即AE取得最小值.
故答案是:.
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【題目】如圖,將Rt△ABC繞直角頂點A,沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到Rt△AB1C1,當(dāng)點B1恰好落在斜邊BC的中點時,則∠B1AC=( )
A.25°B.30°C.40°D.60°
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,△BPC是等邊三角形,BP、CP的延長線分別交AD于點E、F,連結(jié)BD、DP,BD與CF相交于點H,給出下列結(jié)論:①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③DP2=PHPC;④FE:BC=,其中正確的個數(shù)為( 。
A.1B.2C.3D.4
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【題目】小明發(fā)現(xiàn)相機快門打開過程中,光圈大小變化如圖1所示,于是他繪制了如圖2所示的圖形.圖2中留個形狀大小都相同的四邊形圍成一個圓的內(nèi)接六邊形和一個小正六邊形,若PQ所在的直線經(jīng)過點M,PB=5cm,小正六邊形的面積為cm2,則該圓的半徑為________cm.
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【題目】如圖,直線y=k1x+b與雙曲線y=交于點A(1,4),點B(3,m).
(1)求k1與k2的值;
(2)求△AOB的面積.
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【題目】如圖,以矩形ABCD的邊CD為直徑作⊙O,點E是AB 的中點,連接CE交⊙O于點F,連接AF并延長交BC于點H.
(1)若連接AO,試判斷四邊形AECO的形狀,并說明理由;
(2)求證:AH是⊙O的切線;
(3)若AB=6,CH=2,則AH的長為 .
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的圓O交BC于點D,交AC于點E,過點D作DF⊥AC于點F,交AB的延長線于點G.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)已知BD=,CF=2,求DF和BG的長.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,過點A作⊙O的切線并在其上取一點C,連接OC交⊙O于點D,BD的延長線交AC于E,連接AD,
(1)求證:CD2=CEAC;
(2)若AB=4,AC=4,求AE的長.
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(3,0),B(1,0)兩點(如圖1),頂點為M.
(1)a、b的值;
(2)設(shè)拋物線與y軸的交點為Q(如圖1),直線y=2x+9與直線OM交于點D. 現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點在直線OD上.當(dāng)拋物線的頂點平移到D點時,Q點移至N點,求拋物線上的兩點M、Q間所夾的曲線MQ掃過的區(qū)域的面積;
(3)設(shè)直線y=2x+9與y軸交于點C,與直線OM交于點D(如圖2).現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點C)沒有公共點時,試探求其頂點的橫坐標(biāo)h的取值范圍.
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