Question

【題目】已知直線y＝kx＋3（k＜0）分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，線段OA上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)k＝－1時(shí)，線段OA上另有一動(dòng)點(diǎn)Q由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)P以相同速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（如圖1）．

①直接寫出t＝1秒時(shí)C、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若以Q、C、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求t的值．

（2）當(dāng)k＝時(shí)，設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線y＝（x＋m）2＋n與直線AB的另一交點(diǎn)為D（如圖2），

①求CD的長(zhǎng)；

②設(shè)△COD的OC邊上的高為h，當(dāng)t為何值時(shí)，h的值最大？

Answer 1

【答案】（1）①C（1，2），Q（2，0），②滿足條件的t的值是1.5秒或2秒；（2）①CD=，

②當(dāng)t為秒時(shí)，h的值最大.

【解析】整體分析：

（1）①把x=1代入直線y=-x+3得到點(diǎn)C坐標(biāo)，求出OQ的長(zhǎng)得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②需要分兩種情況討論；（2）①過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，通過(guò)△DEC∽△AOB求CD的長(zhǎng)；②因?yàn)?/span>CD的長(zhǎng)和CD上的高確定，所以△OCD的面積確定，則h越大，OC就越小，當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC最小，h最大，求出此時(shí)OP的長(zhǎng)即可.

解：（1）①C（1，2），Q（2，0）.

②由題意得：P（t，0），C（t，－t＋3），Q（3－t，0）.

分兩種情況討論：

情形一：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠AQC＝∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA，

∵CP⊥OA，∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，OQ＝OP，

即3－t＝t，∴t＝1.5.

情形二：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠ACQ＝∠AOB＝90°，

∵OA＝OB＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ也是等腰直角三角形，

∵CP⊥OA，∴AQ＝2CP，即t＝2（－t＋3），

∴t＝2.

∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒．

（2）①由題意得：C（t，）

∴以C為頂點(diǎn)的拋物線解析式是y＝(x－t)2，由(x－t)2＝，

解得x1＝t，x2＝t－．

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，則∠DEC＝∠AOB＝90°.

∵DE∥OA，∴∠EDC＝∠OAB，

∴△DEC∽△AOB.

∴.

∵AO＝4，AB＝5，DE＝t—（t—）＝，

∴CD＝.

②∵CD＝，CD邊上的高＝，

∴S△COD＝，∴S△COD為定值．

要使OC邊上的高h的值最大，只要OC最短，

因?yàn)楫?dāng)OC⊥AB時(shí)OC最短，此時(shí)OC的長(zhǎng)為，∠BCO＝90°.

∵∠AOB＝90°，∴∠COP＝90°－∠BOC＝∠OBA，

又∵CP⊥OA，

∴Rt△PCO∽R(shí)t△OAB.

∴，OP＝，即t＝.

∴當(dāng)t為秒時(shí)，h的值最大．