Question

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖１，是等邊三角形，，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，有AE=EF成立；

【數(shù)學(xué)思考】某數(shù)學(xué)興趣小組在探究AE、EF的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)驗(yàn)證得出如下結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)E是直線BC上（B,C除外）任意一點(diǎn)時(shí)(其它條件不變)，結(jié)論AE=EF仍然成立．

假如你是該興趣小組中的一員，請(qǐng)你從“點(diǎn)E是線段BC上的任意一點(diǎn)”；“點(diǎn)Ｅ是線段BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)”；“ 點(diǎn)Ｅ是線段BC反向延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫出圖形，并進(jìn)行證明．

 

【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若CE = BC，在備用圖2中畫出圖形，并運(yùn)用上述結(jié)論求出的值．

Answer 1

(1) 正確畫出圖形

①第一種情況：當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)．

證明：在AB上取AG=CE，連接EG．

則是等邊三角形

∴∠AGE=，而∠ECF=

∴∠AGE=∠ECF…

∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠GAE+∠B，

∴∠GAE=∠CEF

∴≌(ASA)

∴AE=EF

②第二種情況：當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)．

在CF取CG=CE，連接EG．

∵CF是等邊三角形外角平分線

∴∠ECF=

∵CG=CE

∴是等邊三角形

∴∠FGE=∠ACE=

∵∠AEF=∠AEG+∠GEF=∠AEG+∠AEC=

∴∠GEF=∠CEA…

∴≌(ASA)

∴AE=EF

③第三種情況：當(dāng)點(diǎn)E在BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)．

在AB的延長(zhǎng)線上取AG=CE，連接EG．

則有BG= BE；∴是等邊三角形

∴∠G=∠ECF= 

∵∠CEF=∠AEF-∠AEC=-∠AEC

∠EAB=∠ABC-∠AEC=-∠AEC

∴∠CEF=∠EAB

∴≌(ASA)

∴AE=EF

（2）正確畫出圖形…

∵CE = BC=AC

∴∠CAE=∠CEA=，∠BAE=

∴

∵AE=EF，∠AEF=

∴是等邊三角形

∴∽

∴．