Question

【題目】如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣4）的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)B（﹣1，0）和C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將拋物線y=x2+bx+c向上平移7個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線，若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；

（3）將x軸下方的拋物線圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，得到新的函數(shù)圖象C，若直線y=x+k與圖象C始終有3個(gè)交點(diǎn)，求滿足條件的k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4（2）＜m＜（3）1或

【解析】試題分析：

（1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可解出的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）將（1）中所得解析式配方，結(jié)合已知條件可得平移所得新拋物線的解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可求得直線AB、AC的解析式，由頂點(diǎn)分別落在AB和AC上可求得對(duì)應(yīng)的“m”的值，即可得到“m”的取值范圍；

（3）如圖1，當(dāng)直線和新的函數(shù)圖象C有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線分別處于圖中的位置上；①由過(guò)點(diǎn)B，可求得此時(shí)“m”的值；②當(dāng)直線處以的位置時(shí)，由圖可知，此時(shí)直線和新的函數(shù)圖象C在的范圍內(nèi)有1個(gè)公共點(diǎn)，由“一元二次方程根的判別式”可求得此時(shí)“m”的值；兩者綜合即可得到本題答案.

試題解析：

（1）∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣4）的拋物線與x軸相交于點(diǎn)B（﹣1，0），

∴ ，解得： ，

∴ 拋物線解析式為；

（2）由（1）知，拋物線解析式為，

∴此拋物線向上平移7個(gè)單位長(zhǎng)度、再向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得新拋物線的解析式為： ，

∴新拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

對(duì)于拋物線當(dāng)時(shí)，有 ，由此解得=﹣1或8，

∴C的坐標(biāo)為（8，0），

又∵A（0，﹣4），B（﹣1，0），

∴可解得直線AB的解析式為y=﹣4x﹣4，直線AC的解析式為y=x﹣4，

由此可得：

①當(dāng)頂點(diǎn)P在AB上時(shí)，可得： ，解得m=，

②當(dāng)頂點(diǎn)P在AC上時(shí)，可得： ，解得m=，

∴綜合①②可得，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)m的取值范圍是： ；

（3）翻折后所得新圖象如圖1所示．

當(dāng)直線和新圖象C（其中翻折所得部分為）有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線分別處在圖中的位置上：

①當(dāng)直線l位于l1時(shí)，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)B（﹣1，0），

∴0=﹣1+k，解得：k=1；

②∵當(dāng)直線l位于l2時(shí)，此時(shí)直線與函數(shù)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴方程，即有兩個(gè)相等實(shí)根．

∴△=25﹣4（2k﹣8）=0，即k=．

綜上所述，k的值為1或．