【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)P在射線BC上(異于點(diǎn)B、C),直線AP與對(duì)角線BD及射線DC分別交于點(diǎn)F、Q

(1)若BP=,求BAP的度數(shù);

(2)若點(diǎn)P在線段BC上,過(guò)點(diǎn)F作FGCD,垂足為G,當(dāng)FGC≌△QCP時(shí),求PC的長(zhǎng);

(3)以PQ為直徑作M.

①判斷FC和M的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;

②當(dāng)直線BD與M相切時(shí),直接寫(xiě)出PC的長(zhǎng).

【答案】(1)BAP=30°;(2);(3)FC與M相切;PC=

【解析】

試題分析:(1)在直角ABP中,利用特殊角的三角函數(shù)值求BAP的度數(shù);

(2)設(shè)PC=x,根據(jù)全等和正方形性質(zhì)得:QC=1﹣x,BP=1﹣x,由ABDQ,,代入列方程求出x的值,因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BC上,所以x1,寫(xiě)出符合條件的PC的長(zhǎng);

(3)①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),F(xiàn)C與M相切,只要證明FCCM即可,先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線得CM=PM,則MCP=MPC,從而可以得出MCP+BAP=90°,再證明ADF≌△CDF,得FAD=FCD,則BAP=BCF,所以得出MCP+BCF=90°,F(xiàn)CCM;

如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),F(xiàn)C與M相切,同理可得MCD+FCD=90°,則FCCM,F(xiàn)C與M相切;

②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),如圖4,設(shè)M切BD于E,連接EM、MC,設(shè)Q=x,根據(jù)平角BFD列方程求出x的值,作AP的中垂線HN,得BHP=30°,在RtBHP中求出BP的長(zhǎng),則得出PC=;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)(即在線段BC的延長(zhǎng)線上),如圖5,同理可得:PC=

試題解析:(1)四邊形ABCD是正方形,∴∠ABP=90°,tanBAP==,tan30°=∴∠BAP=30°;

(2)如圖1,設(shè)PC=x,則BP=1﹣x,∵△FGC≌△QCP,GC=PC=x,DG=1﹣x,∵∠BDC=45°,FGD=90°,∴△FGD是等腰直角三角形,FG=DG=CQ=1﹣x,ABDQ,,,,解得:x1=1(舍去),x2=PC=;

(3)①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),F(xiàn)C與M相切,理由是:

取PQ的中點(diǎn)M,以M為圓心,以PQ為直徑畫(huà)圓,連接CM,∵∠PCQ=90°,PQ為直徑,點(diǎn)C是圓M上,∵△PCQ為直角三角形,MC=PM,∴∠MCP=MPC,∵∠APB=MPC,∴∠MCP=APB,∵∠APB+BAP=90°,∴∠MCP+BAP=90°,AD=DC,ADB=CDB,F(xiàn)D=FD,∴△ADF≌△CDF,∴∠FAD=FCD,∵∠BAP+FAD=BCF+FCD,∴∠BAP=BCF,∴∠MCP+BCF=90°,FCCM,FC與M相切;

如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),F(xiàn)C與M也相切,理由是:

取PQ的中點(diǎn)M,以M為圓心,以PQ為直徑畫(huà)圓,連接CM,同理得AQD=MCQ,點(diǎn)C是圓M上,AD=DC,BDA=CDB=45°,DF=DF,∴△ADF≌△CDF,∴∠FAD=FCD,∵∠AQD+FAD=90°,∴∠MCD+FCD=90°,FCMC,FC與M相切;

②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),如圖4,設(shè)M切BD于E,連接EM、MC,∴∠MEF=MCF=90°,ME=MC,MF=MF,∴△MEF≌△MCF,∴∠QFC=QFE,∵∠BAP=Q=BCF,設(shè)Q=x,則BAP=BCF=x,QFE=QFC=45°+x,DFC=45°+x,∵∠QFE+QFC+DFC=180°,3(45+x)=180,x=15,∴∠Q=15°,∴∠BAP=15°,作AP的中垂線HN,交AB于H,交AP于N,AH=AP,∴∠BHP=30°,設(shè)BP=x,則HP=2x,HB=x,2x+x=1,x=,PC=BC﹣BP=1﹣()=;

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)(即在線段BC的延長(zhǎng)線上),如圖5,同理可得:PC=;

綜上所述:PC=

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