Question

寫出命題“如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角的角平分線所夾的銳角是45°”的逆命題，并證明這個命題是真命題．

Answer 1

考點：命題與定理

專題：

分析：交換命題“如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角的角平分線所夾的銳角是45°”的提設(shè)與結(jié)論可得到它的逆命題，再寫出已知、求證、證明．

解答：解：逆命題是：如果一個三角形的兩個角的角平分線所夾的銳角是45°，那么這個三角是直角三角形．
已知，如圖，△ABC中，BE是∠ABC的角平分線，交AC于E，AD是∠CAB的角平分線，交BC于D，BE和AD相交于O點，且∠EOA=45°．
求證：△ABC是直角三角形
證明：∵BE是∠ABC的角平分線，AD是∠CAB的角平分線，
∴∠OAB=

1

2

∠CAB，∠OBA=

1

2

∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA=

1

2

（∠CAB+∠CBA），
∴180°-∠AOB=

1

2

（180°-∠C），
∴∠AOB=90°+

1

2

∠C
又∵∠EOA=45°，
∴∠AOB=135°=90°+

1

2

∠C，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形．

點評：本題考查了命題：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題；錯誤的命題稱為假命題．也考查了逆命題．