Question

如圖，已知點(diǎn)C是直徑為AB的⊙O上的點(diǎn)，AC=5cm，∠ABC=30°，∠ACB的平分線交⊙O于D，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：根據(jù)圓周角定理及勾股定理可得AD的長(zhǎng)，過(guò)E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F(xiàn)，G是垂足，則四邊形CFEG是正方形，設(shè)EF=EG=x，由三角形面積公式可求出x的值，及CE的值，根據(jù)△ADE∽△CBE，根據(jù)相似比可求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)．

解答：解：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=5cm，∠ABC=30°，
∴BC=

3

AC=5

3

（cm），AB=2AC=10（cm），
∵CD平分∠ACB，
∴

AD

=

BD

，
∴AD=BD，
∴AD=BD=

2

2

AB=5

2

（cm），
過(guò)E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F(xiàn)，G是垂足，則四邊形CFEG是正方形，
設(shè)EF=EG=x，
∴

1

2

AC•x+

1

2

BC•x=

1

2

AC•BC，
∴

1

2

×5•x+

1

2

×5

3

×x=

1

2

×5×5

3

，
∴x=

15-5 3

2

，
∴CE=

2

x=

15 2 -5 6

2

，AE=

x

cos30°

=5

3

-5，
∴BE=AB-AE=10-（5

3

-5）=15-5

3

．
∵∠DAB=∠DCB，
∵△ADE∽△CBE，
∴DE：BE=AD：BC，
∴DE：（15-5

3

）=5

2

：5

3

，
∴DE=5

6

-5

2

，
∴CD=CE+DE=5

3

-5+5

6

-5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角定理，垂徑定理，角平分線的性質(zhì)，及相似三角形的性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造正方形．